Problemas 1

_______________________________________________________________________________________

Problemas I (en una dimensión)

Históricamente, el estudio de la electrostática comenzó en 1784 con la ley de Coulomb, que se escribe:

(1.1)

Esta ley establece que la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y directamente proporcional al producto de las cargas, con la dirección de al fuerza a lo largo de las línea recta que conecta a las dos cargas. En estos aspectos, la fuerza de Coulomb entre dos cargas puntuales es similar a la fuerza gravitacional entre dos masas puntuales. Una diferencia importante entre las dos leyes de fuerza es que la carga eléctrica viene en dos signos, con la fuerza entre cargas simulares siendo repulsiva, y la que entre dos cargas opuestas es atractiva. 

En Ec. 1.1, dando la fuerza sobre carga q debido a la carga q’ en términos del vector unitario que especifica la dirección de q’ a q. El vector unitario es adicional definido como un vector dividido por su magnitud , por lo que la ley de Coulomb también se puede escribir como

(1.2)

Esta forma de la ley de Coulomb es más útil en operaciones vectoriales. Debido a que la ley de Coulomb es una proporcionalidad, se incluye una k constante en las ecuaciones (1,1) y (1.2). Esta constante se puede elegir para definir la unidad de carga eléctrica. Desafortunadamente, se han utilizado varias definiciones diferentes para la unidad de carga, y se requiere cierto cuidado en el tratamiento de las unidades de manera consistente. Nos tomamos el tiempo ahora para discutir algunos de los diferentes sistemas. 

La elección más simple, en términos de la ley de Coulomb, es establecer que k=1, y usar la ley de Coulomb para definir la unidad de carga eléctrica. Esto conduce a la unidad electrostática (esu) de carga llamada statcoulomb, que se puede definir en palabras por la fuerza electrostática entre dos cargas, cada una de una statcoulomb, a una distancia de un centímetro de distancia, es un dyne. En pocas palabras, si todas las distancias y fuerzas están en unidades cos (centímetros-gramo-segundo) entonces la carga en la ley de Coulomb con k=1 está en statcoulomb. 

Otra opción para la definición de la unidad de carga eléctrica utiliza unidades MKS (metro-kilogramo-segundo) en la ley de Coulomb con la constante k dada por k=9x10^9. Esto define la unidad de carga llamada Coulomb, que podría definirse por la fuerza electrostática entre dos cargas, cada una de una de un Coulomb, a una distancia de un metro de distancia es de 9x10^9 Newtons. 

El Coulomb es algo más familiar que el statcoulomb porque la unidad común de corriente, el amperio, se define como un Coulomb por segundo. La razón, el Coulomb,  y la forma de la ley de Coulomb con k= 9x10^9 fue anotada como parte del sistema internacional de unidades (SI) y ha ganado un uso casi universal en los libros de textos de física elemental. Sin embargo, el estudio y la comprensión de la electrostática es considerable más simple utilizando unidades esu con k=1. El sistema SI también es particularmente incómodo de usar para formulaciones relativistas y cuánticas de electromagnetismo. Por esta razón, utilizamos cositentmente unidades esu como parte de lo que se llama el sistema gaussiano de unidades que relaciona el esu y sistema de unidades emu. Conversiones entre sistema gaussiano y SI se aplican dentro la Ley de Coulomb.

En el sistema SI, se complica un poco más aún al introducir una nueva cantidad definida por 

  (1.3)

Se dice que el uso del “racionaliza” las unidades porque hace que algunas ecuaciones posteriores (como la ley de Gauss) sean más simples. La constante a veces se llama “la permeabilidad del espacio libre”. Esta terminología es desafortunada porque, en la teoría de la electrodinámica cuántica (QED), que es la teoría base del electromagnetismo clásico, suegro una permitividad dependiente de la frecuencia (polarización del vacío) que no tiene nada que ver con .

La unidad de carga en el sistema SI está relacionada con la unidad esu por 

1coulomb=3x10^9 statcoulombs   (1.4)

El número 3x10^9 que relaciona el statcoulomb con el Coulomb está relacionado con una constante c, y el número 9x10^9 para la constante k está relacionado con . La constante c tiene dimensiones de velocidad, y se introdujo originalmente para la consistencia entre los fenómenos eléctricos y magnéticos. Algunos años después de su introducción, Maxwell demostró que la constante c era, de hecho, la velocidad de la luz en el vacío.

Herman Minkowski luego mostró en la teoría de la Relatividad Espacial de Einstein que el espacio y el tiempo simplemente se referían a diferentes direcciones en una variadas espacio-tiempo completamente simétrica. Esto hace que c sea la constante de conversión entre los ejes especiales y el eje de tiempo. Esto significa que c ya no es una constante a medir, sino un número especificado utilizado para definir el medidor en términos del segundo. Esta es la definición moderna del medidor, que se define para que la luz viaje exactamente a 299,792,458 metros en un segundo. En unidades cgs, entonces

  (1.5)

El valor definido para c está muy cerca de 3x10^10 en magnitud igual a tres cifras significativas, y generalmente usamos valor 3 para las conversiones, con el entendimiento de que el valor más preciso podría usarse si se deseara una mayor precisión. 

La magnitud de la carga de un electrón viene dada por 

e=4.80x10^-10 statcoulomb 

o

e=1.60x10^-19 coulmb 

La fuerza de la ley de Coulomb sobre cada uno de las dos cargas es proporcional al producto de las cargas, y cada fuerza está a lo largo de su eje común. Así, la ley de Coulomb satisface la tercera ley de Newton de fuerzas iguales y opuestas. Podríamos tratar de usar la tercera ley como base teórica para la apariencia simétrica de las dos cargas, y la línea de acción común de las fuerzas, pero la tercera ley de Newton no es una base sólida sobre la cual construir. Aunque se satisface en electrostática, se ha visto que es violada por fuerzas magnética entre cargas en movimiento. Un mejor principio es la conservación del momento lineal y angular. La conservación del momento lineal requiere que las dos fuerzas del momento angular requiere que las dos fuerzas estén a lo largo de la misma línea de acción. Así que vemos que es a partir de estas dos leyes de conservación que las dos fuerzas en la ley de Coulomb son colineales, y las cargas aparecen simétricamente. 

El hecho de que la fuerza sea proporcional a la primera potencia de las cargas se llama linealidad. Una suposición relacionada, pero lógicamente algo más extendida, (verificada por experimentación), es que la fuerza de Coulomb debida a dos cargas, ubicadas en diferentes puntos, en una tercera es la suma vectorial de las dos fuerzas individuales. Esto se llama el principio de superposición para la fuerza eléctrica. Extendido a la fuerza debido a varias cargas, el principio de superposición conduce a la forma 

      (1.6)

Para la fuerza sobre una carga puntual q en r debido a otras cargas puntuales situadas en puntos . Podemos ver en (1.6) que la forma de la ley de Coulomb es más conveniente que usar , porque el vector unitario para sería incómodo de usar. 

Ejemplo 1.1 Dos protones del núcleo de helio están distantes entre si 10^15 m aproximadamente. Calcule la magnitud de la fuerza electrostática ejercida por un protón sobre el otro.

Solución 

Distancia de separación entre las cargas:

Magnitud de ambas cargas:

Fuerza

Ley de Coulomb

Al sustituir valores:

Ejemplo 1.2 Dos protones en una molécula están separados por . a) Encuentre la fuerza electrostática ejercida por un protón sobre el otro. b) ¿Cómo se compara la magnitud de esta fuerza gravitacional entre dos protones?, c) cuál deber ser la razón entre la carga y la masa de una partícula si la magnitud de la fuerza gravitacional entre ellas y una partícula es igual a la magnitud de la fuerza electrostática entre ellas?

Solución

Carga de un protón:

Distancias de separación entre cargas:

a) Fuerza eléctrica. Ley de Coulomb

b) Fuerza gravitacional. Ley de la Gravitación Universal.

c) 

Al simplificar 

Ejemplo 1.3 Suponiendo que un electrón de un átomo de hidrógeno se mueve en una órbita circular de radio alrededor de un protón. Determinar:

A) La fuerza de atracción electrostática entre el protón y el electrón.

B) El número de revoluciones que da el electrón por segundo.

C) La corriente equivalente al movimiento del electrón del átomo de hidrógeno.

Solución

Distancia de separación entre las cargas:

A) la ley de Coulomb 

Al sustituir valores:

B) Fuerza centrípeta

. (1)

Aceleración angular

(2)

Velocidad angular

(3)

Al sustituir la ecuación (3) en la ecuación (2)

(4)

Al sustituir la ecuación (4) en la ecuación (1):

Se despeja la frecuencia:

Al sustituir valores:

Para una vuelta. Periodo del movimiento:

Ejemplo 1.4 Dos cargas q1 y q2  cuando se combinan dan una carga total de . Cuando están separadas 3m, la magnitud de la fuerza ejercida por una carga sobre la otra tiene un valor de . Determine q1 y q2 si:

A) Ambas son positivas.

B) Una es positiva y la otra es negativa.

Solución

A) Ambas son positivas.

Carga total cuando están combinadas:

Ec.(1)

Ley de Coulomb 

Al sustituir

Ec. (2)

Debemos resolver el sistema de ecuaciones (1) y (2)

De la ecuación (1):

Al sustituir en la ecuación (2):

Al resolver la ecuación de segundo grado anterior:

B) Una es positiva y la otra es negativa.

Ec. (1)

Ec. (2)

De la ecuación (1):

Al sustituir en ec. (2) :

Al resolver la ecuación de segundo grado anterior:

Ejemplo 1.5 Se dispone de dos esferas idénticas cargadas de electricidad, cuyas cargas son y . Se les pone en contacto y después se les coloca a una distancia de 2cm. Calcular el módulo e indicar la naturaleza de la fuerza con que se accionan.

Solución

Cuando las esferas idénticas se ponen en contacto, ocurre una distribución de cargas entre las esferas de tal manera que cada una de ellas queda con la misma carga una vez que se les separa.

La carga de cada esfera es:

Fuerza eléctrica entre las cargas:

Ley de Coulomb siendo las cargas iguales:

Ejemplo 1.6 Se dispone de tres cargas eléctricas: 

Situadas en el mismo vacío y en línea recta separadas por las siguientes distancias: de qA a qB la distancia es de 10cm y de qB a qC la distancia es 5cm. Calcular la fuerza resultante con que qA y qB accionan a qC.

Solución 

Fuerza resultante sobre la carga qC.

Módulos de las fuerzas individuales.

Fuerza ejercida por la carga A sobre la carga C. 

Fuerza ejercida por la carga B sobre carga C.

Fuerza resultante 

Ejemplo 1.7 Se tiene dos cargas eléctricas y desconocida, separada entre sí a una distancia de 8 cm. Una tercera carga está sobre la misma recta de las anteriores y a 4 cm a la derecha de . Si la fuerza resultante sobre esta por efecto de las otras dos es de 6562.5N, calcular la magnitud de .

Solución

 En el planteamiento del problema indica que el módulo de la fuerza resultante tiene sentido hacia la derecha. El signo de la carga está condicionada a si es mayor o no de 6562.5N. Si , entonces debe ser positiva para que genere un aporte de fuerza adicional sobre y la fuerza neta pueda llegar a ser de 6562.5N. Si , entonces debe ser negativa para que genere un aporte de fuerza adicional sobre debe ser negativa para que contrarreste parte de esta fuerza y la fuerza neta pueda llegar a ser de 6562.5N. 

En primer lugar calculamos

Fuerza ejercida por la carga 1 sobre la carga 3. 

Puesto que , entonces debe ser positiva.

La fuerza ejercida por sobre la carga es:

Cálculo de la carga q_2:

_{Ejemplo 1.8  Dos partículas  de cargas} 

Están separados a 2m. 

A) Determine donde se podría colocar la tercer caga Q  a lo largo de la línea que las une para que no experimenten ninguna fuerza eléctrica.

B) Si , ¿en qué punto de la fuerza eléctrica sería cero?

Solución 

A) Cuando el signo de las cargas es diferente, al tercera carga debe colocarse fuera del espacio comprendido entre ellas, y más cerca de la carga más pequeña en valor absoluto. Ubicamos la carga Q una distancia x a la izquierda de q1. 

Puesto que la fuerza eléctrica resultante sobre la carga Q es nula:

Las fuerzas deben ser iguales pero opuestas.

Ley de Coulomb 

Fuerzas individuales:

Al igualar las fuerzas:

Al simplificar k y Q:

Reacomodando la expresión anterior:

Finalmente se despeja x de la ecuación:

B) Cuando el signo de las cargas es igual, la tercera carga debe colocarse dentro del espacio comprendido entre ellas, y más cerca de la carga más pequeña en valor absoluto. 

Ubicamos la carga Q una distancia x a la primera izquierda de q1. 

Puesto que la fuerza eléctrica resultante sobre la carga Q es nula:

Las cargas deben ser iguales y opuestas.

Ley de Coulomb 

Fuerzas individuales:

Al igualar las fuerzas:

Al simplificar k y Q:

Reacomodando la expresión anterior:

Finalmente se despeja x de la ecuación:

Autores:

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán