Texto académico

Autores

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Gladys Juárez Cisneros
Filho Enrique Borjas García
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán

6. El cálculo

Después de descubrir el número y desarrollar los sistemas numéricos, surgió una curiosidad de la civilización ¿cómo podía emplear la idea de número como estilo de pensar al mundo como algo numerable? Richard Feynman refirió a esta pregunta, del fondo de la respuesta a esta así nació el cálculo, como un truco para revelar el diseño de Dios de esta realidad. Tal vez, el diseño del universo alberga vida inteligente con la capacidad de observar su propia base axiomática que le permite poseer conciencia de sí. En cualquier caso, es un misterio que la naturaleza obedezca a los axiomas de nuestra razón, que además expresa su predictibilidad con cálculos de lenguaje artificial (matemático). 

Las ecuaciones diferenciales que son estructuradas con derivadas, integrales, funciones, infinitos, ceros, límites, espacios geométricos…, son infinitamente muy próximas a la coherencia con la realidad. Esta idea parte que algo así, es como revelar el diseño del arquitecto del orden de este universo. Donde las ecuaciones fundamentales son el sistema operativo donde corren otras arquitecturas matemáticas de la realidad, donde estas últimas son subyacentes al sistema operativo. Calcular es aprovechar esta propiedad que el orden matemático de la naturaleza expresa.

Las ecuaciones de Newton son un conjunto pequeño de ecuaciones diferenciales con simetrías en su contenido, con ellas la gravedad y el movimiento en la tierra y el mismo  universo quedó conectado como un patrón en el que se postula que todas estas matemáticas son válidas en cada uno de los lugares espacio-temporal de nuestra realidad. El cálculo se nos reveló como un lenguaje que fusiona las nociones de número, espacio geométrico, probabilidad, categorización y lógica como un poder de predicción. Lo hemos usado en el mundo ahora mismo para crear lo no dado en este universo, elementos químicos, anticuerpos, fármacos, música y toda clase de lo sintético. La habilidad de calcular se educa en los más jóvenes para que desarrollen el pensamiento profundo exigido por los secretos revelados de un Big Bang matemático.

¿Qué es el cálculo? Quizá es un habla del conocedor predictor, de la más avanzada experiencia matemática, entendido como el arte de modelar. La búsqueda de la existencia resulta la estimulación perfecta para el desarrollo del cálculo. El infinito como accesible espacio para realizar cálculos en sus fronteras, nos animó a grandes ideas en la aventura del cálculo. Si todo lo real en su diseño es un orden matemático, cómo podremos saber las ecuaciones de diseño. 

Por favor si tienes miedo al infinito, esta lectura no es para ti

El infinito captura la fascinación de la humanidad por alcanzar a conocer, capturando con su imaginación algo tan monstruoso en su tamaño. El infinito es una cuenta numérica que parece imposible, un sueño de lo que el tiempo y el espacio pudieran ser. El infinito es una biblioteca con libros por escribir que resultan inesperados para dioses humanos jugando a fracturar lo imposible. El infinito es una secuencia de programación en un ciclo interminable de posibilidad eterna. Pero nuestra existencia es finita, nuestra capacidad neuronal es finita, nuestro mundo es finito, pero quizá habitemos una realidad circular en sus líneas de tiempo. Pero, un juego de trompos todavía ocurre en esa calle empedrada de mi pueblo en 1976 y ese sueño con nuestra primera musa en la escuela secundaria, significa que el flujo de la historia persigue pasos circulares para siempre y cada uno de esos eventos es infinito.

El fractal, pequeños programas que regresan sobre sí mismos, como autorreferencia de lo infinito. Son formas construidas a partir de una huella geométrica heredable a partir de copias de sí mismo, por lo que acercarse a ellos es descubrir como las plantas y los animales construyen sus detalles geométricos a partir de indefinidas divisiones de copias geométricas. Lo que significa, que un árbol es un fractal, lo que podemos reconocer como un programa de ciclo infinito en su huella geométrica. Nuestro ojo puede ver esto.

Cuando colocas una cámara frente a un espejo, descubres una imagen dentro de otra imagen igual y así sucesivamente hasta que el sistema colapsa ante la imposibilidad de alcanzar el infinito al que tiende. Estos fractales parecen estar también presentes en las  grandes obras literarias^[1]. Las posibilidades del lenguaje natural y artificial son infinitas. El arte, el conocimiento científico, la combinación de nuevas emociones, los genotipos, la música, la poesía…, son infinitas posibilidades creativas.

Visualizamos al infinito de lazos y autorreferencia de todas las posibilidades sociales de nuestro enjambre humano, como las historias morales posibles para nuestra existencia. Los niños preguntan si un infinito dentro de otro infinito no solo es algo extraño, sino nuestra propia condición natural. Me gustaría mirar cuando dos rectas paralelas se unen en el infinito, me gustaría entender cómo seres finitos están condenados a habitar universos infinitos como una forma de realización cultural. 

El infinito parece ser para siempre, división de la materia que tiende a la frontera de la nada, que en nuestro mundo moderno de violencia y virtud extrema parece proclamar para la vida humana: humildad y rebeldía. Un compañero nos dijo que algunas cosas indeseables son infinitas, tal como que el poder infinito corrompe al hombre, así que las formas déspotas y autoritarias de lo irracional siempre estarán para recordarnos que la razón por siempre estará en franco peligro de extinguirse. Nuestro campo como profesores escritores, tiene la forma en que poseemos al discurso literario del texto académico, como infinitas innovaciones discursivas para persuadir, seducir y lograr progreso ético en mentes de jóvenes que para serlo, tienen que ser rebeldes ante los intentos del fin de la historia de las ideas.

Escribir provoca paradojas, de que una gramática finita, reglas ortográficas, puntuado y un alfabeto finito permitan crear al mismo tiempo infinitas expresiones poéticas, científicas y de mundos posibles en el arte. No hacer frente a las pruebas de rigurosidad lógica del infinito, provoca en la mente de los más jóvenes, de acuerdo con nuestra experiencia como profesor universitario, que su imaginación se reduzca hasta el absurdo de no concebir lados en un objeto matemático tal como un polígono regular de n número de lados, llamado círculo. No hacer frente a este desafío de la imaginación, instala a los estudiantes en el vertido del cálculo, en la frontera de los infinitos en el terror de sus existencias finitas.

Uno de los papeles de la intuición matemática es explicar cómo nuestra existencia finita está condenada a desarrollarse en un escenario infinito. Sí, una idea similar permite entender que no hay nada más natural en este mundo que el infinito y que este está en todas partes donde miramos en la realidad. 

El infinito es una idea escurridiza para pensar y precisar. Lo infinito es un ciclo para siempre. Lo infinito es más grande que lo finito. Si sumamos uno al infinito el resultado es infinito. Si agregamos un infinito al infinito sigue siendo igual de infinito. Pero quizás existen infinitos más grandes que otros. Si dividimos una pieza de materia entre infinito, quizá allí está un puerto  para alcanzar la absoluta nada. Estas ideas los niños las encuentran fascinantes, pero son los profesores de su educación básica los que por grave error los obligan a no pensar en ellas, dado que en sus mentes hay miedo al abordar esta empresa de conocimiento matemático.

Cuando el niño realiza una cuenta de uno en uno, no importa lo que muchos digan, siempre podríamos agregar un uno más y obtener una nueva frontera para el infinito, esta idea de que no hay número más grande que infinito es la esencia del cálculo avanzado. Aproximaciones infinitas al cero, ángulos infinitos, áreas infinitas, divisiones del volumen infinitas, arcos de curvas infinitamente pequeños, es cuando la idea de infinito emerge como la pieza del cálculo algebraico exacto. En una película de juguetes animados los niños descubren la frase “al infinito y más allá”, es una expresión desafiante y a la vez, una invitación intelectual a reconocer lo abstracto de nuestra realidad física y biológica en sus posibilidades infinitas en la genética, en la arquitectura de elementos químicos, de anticuerpos sintéticos…; una vez que estos niños piensan en el infinito, el pensamiento matemático surge como experiencia emocional fascinante y es nuestra obligación pedagógica no permitir que algunos docentes limiten su potencial intelectual, de ello dependerá que al ser adultos cuajen como artistas, músicos, matemáticos, científicos, escritores de poesía o ingenieros, así que este humilde texto pretende una empresa humanista de promover el pensamiento matemático como expresión de dignidad humana, de la más alta justicia social posible.

La empresa pedagógica de promover el pensamiento matemático, desde la misma frontera conceptual del finito en la probabilidad, la lógica, el número, en la geometría, la categorización, es solo el mejor pretexto para ir al infinito y más allá; rogamos y hacemos votos porque la educación en nuestra comunidad haga enormes esfuerzos por cultivar el pensamiento matemático como estrategia medular del desarrollo de la razón, como medio para la justicia social más plena posible, esa que reduzca la violencia en México. En línea con la evidencia científica que Steven Pinker apunta como la mejor forma del declive de los índices de la violencia^[2].

Octavio Paz definió en el “Arco y la lira^[3]” la relación del infinito en la poesía como posibilidad creativa, colocó en un extremo del espacio del conocimiento a las proposiciones matemáticas y en el otro a la metáfora, y fuera de este la infinita posibilidad creativa representada como un límite expansible sobre la nada. Lo infinito, lo finito y la nada es el sistema donde el creativo desarrolla su mayor expresión de dignidad humana. Desde esta perspectiva la creatividad es  todo lo que no la esclavice, la censure y la violente con sus brazos corruptos, de lo contrario no puede ser llamada educación. Esta conclusión apoyada en Octavio Paz, nos anima a promover el proyecto del pensamiento matemático y, como dice Christopher Daniels, es un aspecto de lo más importante en el aprendizaje innovador desde Aristóteles. Aprendemos preguntando paso a paso ¿por qué?, esto es más importante que aprender hechos y técnicas, en matemáticas siempre hay estimulantes y fascinantes preguntas por contestar, y en ellas hay un proyecto de vida de lo más emocionante y fascinante para nuestra juventud^[4].

¿Por qué importa el infinito para valorar el cálculo?

Es sin duda un camino a la abstracción. Este camino tiene el sentido de descubrir acerca de algo con lo que convivimos intensamente. Quisiéramos subir alto la vista para obtener una perspectiva sobre las extrañas cosas que se pueden reconocer entre el infinito y la facultad intelectual de realizar cálculos. Seguro hay alegría para este esfuerzo mental y la emoción que conspira a lo mejor del pensamiento abstracto. Las matemáticas deberían ser un viaje con la intensidad de lo imaginado al modo cuando tomamos un libro de Julio Verne.

El infinito es un tipo de número de gran tamaño, algo abstracto para medir el tiempo, el espacio, y cualquier otra cosa infinita. Partimos que tratamos al infinito como pensado como un número. Si agregamos 1 a un infinito, esto es como resultado infinito. Pero esto considera por error al infinito como un número ordinario. 

Los matemáticos usan a la lógica para comprender cosas como el infinito y esto nos lleva a extraños lugares conceptuales a los que no pretendimos ir. Los matemáticos juegan con ideas para delimitar lo que son los objetos matemáticos justo antes de definir su maravillosa esencia. 

Una de las cosas que es tentadora sobre el infinito es que están fácil toparse con ideas extrañas como el Hotel de Hilbert, con un número infinito de habitaciones, el cual se comporta muy distinto a uno normal. Sabemos que no podemos manipular el infinito en ecuaciones, como lo hacemos con números naturales. Parece que el infinito no puede ser un número natural. Pero qué significa esto:

Si agregamos uno al infinito es infinito. Esto es:

Si tratamos esta ecuación como con los números naturales y restamos de ambos lados infinito:

Evidentemente este resultado es contradictorio. Pero si sumamos infinitos:

Resulta que:

Resulta igual de contradictorio.  Pero en la multiplicación pasa lo mismo:

Si dividimos ambos lados entre infinito:

El problema es que manipulamos al infinito como si fuera un número natural sin saber si lo es. Parece que podemos concluir que el infinito no es un número natural. Pero los números parecen ser los cimientos de las matemáticas, cómo es posible que el infinito no sea un número natural, sería mejor pensar qué son los números antes de afirmar esto. Parece que hemos durante mucho tiempo usado números sin saber qué son. Es como en la física usar la masa como algo que no sabemos qué es en su más profunda realidad. El punto es este. Los números enteros negativos y fraccionarios son tan malos unos como otros para definir el infinito, la cosa cambia cuando empleamos a los irracionales, allí las cosas se ponen aún más difíciles pero también más interesantes. Este desbloqueo en el pensamiento matemático es el que condujo al desarrollo del cálculo que a su vez, llevó a grandes saltos hacia adelante en la precisión y la comprensión de la ciencia y la ingeniería en estos dos últimos siglos. Pero para entender estos números irracionales tenemos que regresar a los principios axiomáticos y desde allí resolver este misterio.

Se preguntará, porque no simplemente declarar al infinito como un número incontable. Para entender esto, tenemos que comprender cómo funciona la matemática. Esto podría sentirse como ir al diccionario y buscar una definición a la palabra “infinito”. Para entender al infinito debemos antes comprender a los números y esto nos lleva a  los cimientos de las matemáticas. Al parecer las matemáticas solo pueden estudiar cosas que siguen las reglas de la lógica. Cuando decimos que algo es un objeto matemático, podemos decirlo que pertenece a una lista de elementos coherentes con la lógica. Para ello, debemos mostrar sus propiedades de manera que nos permitan mirar racionalmente al objeto. Entonces, el desafío es construir una lista, que para nada está terminada y que por mucho está agotando el conocimiento de estos objetos matemáticos. Para saber si el infinito es un número, debemos probar que se comporta como un número. 

Las matemáticas parecen ser un proceso del que nunca se consigue llegar a ningún lugar que se quiere. Porque cada vez que nos aproximamos se nos revelan otras cosas que no sabemos. Definitivamente, a través de los números naturales no llegamos al infinito. Podemos darnos cuenta que con cada nuevo tipo de número que se construye, se forma con uno previo que ya se conocía. Así, en el edificio de la matemática se construyen nuevos objetos matemáticos siempre de cosas anteriores. Construir de esta manera tiene la ventaja además de ahorrar capacidad intelectual, nos ayuda a ver las relaciones entre los diferentes conceptos y cómo encajan para hacer a la matemática algo coherente. Si damos a los símbolos matemáticos conceptos abstractos, esto nos ayuda a la manipulación simbólica.

Regresando a nuestra búsqueda del infinito, podemos emplear a los números enteros, que resultan ser más útiles que los naturales. Lo primero que cambia es que integramos al cero, un número que es neutral bajo la suma y la resta. En matemáticas decimos que cada número tiene un inverso aditivo, un número por el cual deshace el número original, es decir, esto nos lleva de nuevo a cero. 1-1 o 2-2. Pero esto nos conduce al infinito sin aportar nada nuevo.

Para los números fraccionarios a/b las cosas son más prometedoras, por ejemplo, desde nuestra educación primaria nos dijeron que no está definida la división entre cero. Pero quizá al dividir la unidad entre cero es una manera de llegar al infinito.

Es como decir que vamos a repartir un pastel entre cero personas. Esto no es lógico, no parece sensato. Sin duda la división es la más compleja de las operaciones básicas. Podríamos pensar que cada número tiene un inverso multiplicativo. Pero cómo sería el inverso del cero. No podemos definir al infinito como:

,

porque no hay manera de dividir infinito entre cero, porque simplemente no podemos interpretar esto. Pero nos da conocimiento de que fraccionarios permiten construir a los enteros.

Un número irracional es un número que no puede describirse como una relación de enteros a/b. La construcción de estos números resulta complicada, pero la idea de que son necesarios para llenar los huecos entre la recta numérica de racionales, es un hecho que esta recta real se forma de racionales y enteros. Lo contradictorio es que hay más números irracionales que racionales. Esta es otra cosa misteriosa que sucede cuando pensamos en el infinito. La unión entre números racionales e irracionales en la recta real no resuelve 1=0 al tratar de definir al infinito como un real. 

Quizá ya se ha dado cuenta que esta búsqueda de infinito parece inútil ¿Qué tipo de número podría ser infinito? Hasta ahora cada tipo de número lo hemos definido como algo que se permite restar, rellenar huecos como bloques de construcción. Necesitamos cambiar nuestra perspectiva sobre los números y encontrar que son los infinitos. Hemos intentado contar hasta infinito y no funcionó. Pero aquí hay una sorpresa, cuando los niños aprenden a contar no lo hacen añadiendo uno repetidamente, lo hacen contando con sus dedos al modo de conjuntos que se suman.  Contar con los dedos es muy profundo y esto podría llevarnos hasta infinito, aunque nuestros dedos lo hagan solo hasta 10.

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

Pero si nosotros no conocemos previamente el concepto de diez, cómo podríamos encontrar a diez o nada. Con esto,  es cuando los matemáticos finalmente se dan cuenta que definir un número rigurosamente no conduce a nada nuevo. El niño intenta asociar sus dedos con un número y lo hace para cada cosa que hay en la realidad. 

Abordar esto con rigor, es lo que permite a los matemáticos estar de acuerdo entre sí sobre lo que consideran verdadero. En lugar de argumentar sobre ideas de teorías, los matemáticos se basan en las reglas de la lógica, la idea es que si solo se utilizan objetos que se comportan estrictamente de acuerdo con las reglas lógicas, ningún desacuerdo puede surgir. Sin embargo, que sucede si utilizamos objetos que no se comportan con la lógica y pudieran producir diferentes respuestas válidas. El mundo en general, no se comporta de acuerdo con la lógica estricta. Si le das a un niño los recursos para despojarse de las ambigüedades, solo manipulará las cosas coherentes con las reglas de la lógica. El punto es, porqué intentar lidiar con el infinito. Es reconsiderar a los números finitos de una manera diferente que nos permita pensar desde un acercamiento diferente a los números por conteo. 

El conteo es esencialmente un proceso de emparejar un conjunto de cosas con otro conjunto de cosas que definen el número en cuestión. Si vemos a los números no como índice de cosas, sino como un conjunto. Podemos pensar a los números como conjuntos de elementos. 

Para cero, podrías referirlo como un conjunto vacío, contiene un vacío como elemento. Un conjunto para el número uno, contiene a uno y al vacío, es decir dos elementos. A este proceso de emparejar números con cosas es a lo que se llama en matemáticas función. Esta idea de emparejar las cosas nos va a dar nuestra primera definición válida de infinito, así que vamos a ver cómo funciona esto para algunas situaciones matemáticas. Contar en matemáticas no es un uno más uno nombrando cada número. Significa emparejar los objetos que se están contando con los objetos en un índice de números. El infinito es un conjunto que contiene a todos los conjuntos de los números naturales, significa emparejar objetos con los índices infinitos dentro de una relación biyectiva o función. Un conjunto infinito es contable si es posible que sus objetos  sean emparejados con el índice de números naturales. Así que, lo que estamos diciendo es que el conjunto infinito se llama contable si los objetos pueden ser emparejados con los números naturales. O formalmente, si hay una función biyectiva a los números naturales. Este conjunto infinito se llama simplemente infinito. Pero, ¿hay conjuntos infinitos que son incontables infinitos?

Ahora que estamos comenzando a tener pistas de que hay diferentes infinitos, deberíamos empezar a tener más cuidado de cómo escribimos infinito. El símbolo  solo significa cualquier cosa no finita. Sin embargo, ahora tenemos una noción muy específica de infinito, que corresponde a nuestro conjunto de índice de números naturales. Por otro lado, pareciera imposible pensar en algo más grande que el infinito. Hemos descubierto que dos infinitos no son más grandes que el infinito, e incluso el infinito al cuadrado. Así que, al final debemos encontrar un infinito que sea más infinito que otro. Qué hay más infinito que los números naturales. La primera idea es tratar de contar a los irracionales. 

En lugar de iniciar demostrando que los irracionales son números incontables, debemos demostrar que los números reales son incontables y de esta manera los segundos también lo serán. 

Ya sabemos que los racionales son contables si ponemos dos conjuntos contables juntos, obtenemos otro conjunto contable. Los números reales son difíciles de anclar, pero por ahora digamos que son todos los números decimales posibles, donde los decimales pueden seguir para siempre. 

A estas alturas ya entendemos la importancia de lo preciso de un lenguaje. La historia de las matemáticas es, entre otras cosas, una historia sobre la invención de un lenguaje cada vez más preciso y técnicas para explorar las ideas abstractas requeridas para modelar el mundo físico. Las nuevas ideas nos obligan a mirar hacia atrás y más precisamente redefinir nuestro antiguo vocabulario. Esto puede sonar como retroceso tedioso, pero ha sido una fuerza impulsora que ha provocado algunos de los mayores avances en matemáticas. Ya es hora de que retrocedamos. Comencemos nuestra historia por definir la simetría de un objeto como un movimiento rígido que deja el objeto aparentemente sin cambios. Ahora es finalmente el momento de definir con más precisión el término "movimiento rígido". Históricamente, esto fue necesario para probar muchos de los teoremas.

Además, dado que el retroceso implica encontrar nuevas formas de pensar en viejas ideas, nos llevará a descubrimientos inesperados y otras verdades.

¿Hasta dónde debemos retroceder? Antes de decidir qué es un movimiento rígido del plano o del espacio, debemos decidir qué es el “plano” y " el espacio". Dado que el plano está hecho de pares de números y el espacio de los tripletes de números, nosotros primero debemos decidir qué es un número.

Hasta ahora, hemos introducido los siguientes conjuntos importantes.

de números:

¿Cuál de estos conjuntos es el más grande? Podría responder que R es el más grande porque contiene a los otros. O puede responder que todos tienen el mismo tamaño, es decir, infinito. Hasta hace poco más de un siglo, los matemáticos estaban contentos con la decisión de que cada conjunto infinito tiene el mismo tamaño que cualquier otro conjunto infinito. No estaban en lo correcto ni en lo incorrecto: esto es simplemente lo que significaron con la frase "mismo tamaño".

DEFINICIÓN DE MODA ANTIGUA DE “MISMO TAMAÑO”: se dice que un par de conjuntos tienen el mismo tamaño si cualquiera de los dos es finito y tiene el mismo número de miembros o ambos son infinitos.

Esta definición probablemente parece razonable, pero estás a punto de aprender una hermosa verdad sobre el infinito a la que esta definición te ciega. Los matemáticos que usaron esta definición, no entendían su punto ciego más que los matemáticos griegos antiguos que entendían las verdades a las que estaban cegados cuando definían "número" como "número racional". En la historia del pensamiento matemático, este "infinito" el punto ciego era tan importante como el punto ciego "número", y su eliminación desató un mundo rico de ideas fundamentalmente nuevas.

¿Qué más podría significar la frase "mismo tamaño"? Para responder a esta pregunta, pensemos más detenidamente acerca de cómo comparamos los tamaños de los conjuntos. Cuando mi hijo era pequeño, le di diez vasos y diez ciruelas, y le pregunté si había tantas ciruelas  como vasos. Un adulto habría contado por separado las ciruelas y los vasos y compararía las respuestas, pero mi hijo aún no sabía cómo contar hasta diez. Así que en lugar de eso, simplemente colocó una ciruela en cada vaso. Como las ciruelas y los vasos se combinaban perfectamente, sabía que había un número igual de cada uno.

Si le dan dos juegos infinitos y le preguntan si tienen el mismo tamaño, entonces su situación es muy análoga a la de mi hijo. No tiene la capacidad de contar por separado cada conjunto porque no sabe cómo "contar hasta el infinito". Su solución más razonable es la que usó mi hijo: debe tratar de encontrar una correspondencia uno a uno (un apareo ) entre los miembros de los dos conjuntos. Esta idea no es un juego de niños, es tan importante que se convertirá en nuestro nuevo significado de "mismo tamaño".

DEFINICIÓN MODERNA DE “MISMO TAMAÑO”: se dice que un par de conjuntos tienen el mismo tamaño si sus miembros pueden ser emparejados con una correspondencia uno a uno.

Es hora de olvidar la definición antigua, y de ahora en adelante, usar solo la definición moderna. Para decidir si dos conjuntos tienen el mismo tamaño, su único trabajo es determinar si sus miembros pueden ser emparejados con una correspondencia de uno a uno. Por ejemplo, para decidir si tiene la misma cantidad de dedos que el desconocido que acaba de encontrar en la escuela, no puede contar y comparar; más bien, debe intentar hacer coincidir los dedos al acercar las manos. A menudo es muy natural comparar tamaños haciéndolos coincidir en lugar de contar.

Encontrar una correspondencia uno a uno puede requerir inteligencia y persistencia. 

DEFINICIÓN: Un conjunto infinito se llama contable sí tiene el mismo tamaño de N (el conjunto de números naturales).

Demostración de que los números racionales son contables: Este es un método alternativo para enumerar todos los números racionales positivos. Esto significa organizarlos en una lista infinita, pero primero nos conformamos con organizarlos en una cuadrícula infinita que (como la cuadrícula de una hoja de cálculo de una computadora) tiene un borde superior y un borde izquierdo, pero se extiende indefinidamente hacia abajo y hacia la derecha. La disposición más natural es así, con la columna que determina el numerador y la fila que determina el denominador:

Ahora organizamos las celdas de esta cuadrícula infinita en una lista infinita serpenteando a través de la cuadrícula de esta manera:

Si registramos las fracciones que visitamos a lo largo de este serpenteante camino púrpura, y eliminamos las redundantes a medida que avanzamos, nuestra lista comenzará así:

Ahora que hemos enumerado con éxito todos los números racionales positivos, podemos insertar cero en el frente e intercalar los negativos como antes.

Nuestro próximo objetivo es decidir si R (el conjunto de todos los números reales) es contable. Para apreciar la pregunta, intente construir una lista infinita {1st real, 2nd real, 3rd real…}. Puede comenzar con una lista de los números racionales y luego insertar algunos números irracionales famosos como Pi y raíz de 2 al principio de su lista. Pero, ¿qué hay de los irracionales menos famosos? Cuantos más agregue a su lista, más descubrirá que falta algo. ¿Hay demasiados números reales para incluir en una sola lista infinita? La respuesta a esta difícil pregunta fue descubierta por Georg Cantor alrededor de 1872.

TEOREMA DE CANTOR: El conjunto de números reales, R, NO es contable (por eso lo llamamos incontable).

Conozco muchas formas de construir una lista infinita de números reales en la que ninguna los incluye a todos. Pero esto no prueba el teorema de Cantor, ya que alguien más inteligente que yo podría algún día tener éxito en incluirlos a todos. Para probar su teorema, Cantor tuvo que demostrar sin NINGUNA lista, no importa lo ingeniosamente que resulte construirla, que no podría tener éxito en incluir todos los números reales. En otras palabras, tuvo que probar que cada intento de listado está condenado por adelantado. Así es como lo hizo:

DENOSTRACIÓN: probaremos que cualquier lista de números reales está incompleta. No importa cuán escrupulosamente se organizó la lista, algunos números reales definitivamente se dejaron de lado. Más precisamente, describiremos un procedimiento concreto para identificar un número real que falta en cualquier lista de números reales.

Imagina una lista de números reales. Tal vez fue creado por su alumno, quien hizo todo lo posible para incluir todos los números reales. Tal vez comienza así:

Aquí hay un procedimiento concreto para identificar un número real que falta en la lista. Llamaremos a este número faltante M. Estará entre 0 y 1, por lo que tendrá la forma:

donde cada dn es un dígito (0-9). ¿Cómo debemos elegir estos dígitos para asegurarnos de que M NO esté en la lista? La respuesta es ingeniosa, y se indica con los dígitos en rojo en la lista del alumno. Aquí está: Elija el primer dígito de M, d1, para que no sea el primer dígito (después del punto decimal) del primer número en la lista. Esto asegura que M sea diferente del primer número en la lista, ya que tiene un primer dígito diferente. Elija el segundo dígito de M, d2, para que no sea el segundo dígito del segundo número de la lista. Esto asegura que M sea diferente del segundo número en la lista, ya que tiene un segundo dígito diferente. ¿Ves la idea? Elija el enésimo dígito de M, dn, para que sea cualquier otra cosa que el noveno dígito del enésimo número en la lista, lo que asegura que M sea diferente del enésimo número en la lista, ya que tiene un noveno dígito diferente.

En el ejemplo del alumno, la diagonal roja incluye los números {1, 3, 4, 0, 7, 7, ...}, por lo que debemos elegir

Esto nos deja mucha libertad. M = 0.258163 ... funciona bien, al igual que muchas otras opciones. Con cada dígito, hay diez opciones (0–9), y solo una opción no está permitida, lo que aún nos deja nueve opciones. Para estar en el lado seguro, también evitaremos los números 0 y 9, que aún dejan al menos siete opciones para cada dígito. 

En resumen, podemos usar este procedimiento diagonal para construir un número real, M, que falta en cualquier lista de números reales. Por lo tanto, ningún listado de números reales podría estar completo. Por lo tanto, los números reales nunca podrían organizarse en una sola lista, son incontables.

El Teorema de Cantor dice que, en un sentido muy preciso, los conjuntos infinitos N y R NO tienen el mismo tamaño. Por lo tanto, la definición moderna de "mismo tamaño" lleva a esta verdad: no todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño, ¡algunos son genuinamente más grandes que otros! Este es un fenómeno sorprendente y notable. En la escritura popular, se describe con frases como "diferentes tamaños de infinito" o "más infinito que infinito".

Durante la vida de Cantor, su trabajo fue criticado por teólogos que lo consideraron un desafío a la noción de Dios como el único infinito y también por matemáticos que se sentían incómodos con sus conclusiones contra intuitivas. Pero al final, no se puede discutir con una prueba sólida. Las conclusiones de Cantor fueron finalmente aceptadas, provocando un cambio de paradigma en la forma en que los matemáticos pensaban sobre conceptos fundamentales de los números y los conjuntos.

Demostramos que estos decimales interminables son incontables usando el truco de Cantor, que ahora se conoce como el argumento diagonal de Cantor. De hecho, los números reales entre 0 y 1 son incontables por sí mismos. Otra manera en que algo puede ser “más infinito” que los números naturales es más sutil y tal vez, se relaciona  con la palabra incontable. Hemos demostrado que los números reales son más infinitos que los numeres naturales, pero ¿Cuánto más infinitos son? ¿A qué distancia está del infinito el infinito más grande? Para ello se requiere del conteo abstracto.

Conteo abstracto

El cálculo es uno de los logros globales entre culturas más inspirador para la humanidad como una unidad de civilización. No es necesario hacer cálculos para apreciar su poder, así como no es necesario conocer el funcionamiento electrónico de un teléfono celular para disfrutarlo. Requerimos de fenómenos matemáticos que guíen nuestras preguntas matemáticas para imaginar lo que sucede con estos objetos matemáticos. El cálculo es esencial para entender la cuarta revolución industrial que nos da el mundo como el que hoy conocemos.

El primer hito del cálculo como desarrollo industrial, se da en las máquinas de vapor y la mecánica de motores y medios mecánicos para herramientas industriales. Pero quizá el mayor logro para intensificar la socialización humana ocurrió con las comunicaciones inalámbricas. La historia de Maxwell ilustra un tema que se va viendo una y otra vez como un logro del cálculo. A menudo se dice que las matemáticas son el lenguaje de la ingeniería y la ciencia. Hay mucho de verdad en ello. En el caso de ondas electromagnéticas, fue un paso clave para Maxwell traducir las leyes que habían sido descubiertas por Faraday, Coulomb y otros de manera experimental a ecuaciones expresadas en lenguaje de cálculo diferencial y luego tensorial. 

Pero la analogía del lenguaje es incompleta, es un sistema asombroso de razonamiento en la frontera del infinito en lo macro y en el microcosmos. Nos permite transformar una ecuación simbólica en otras, solo sujetándonos a operaciones de ciertas reglas profundamente enraizadas en la lógica, los números, la geometría… El cálculo es construir largas cadenas de símbolos, que son cadenas de inferencias lógicas. Es un pensamiento hipotético deductivo, si somos suficientemente hábiles y afortunados de transformar las ecuaciones de manera correcta, podemos conseguir que revelen sus implicaciones ocultas y por ende a los objetos que hacen referencia en la realidad. Para un matemático y un poeta es como adoptar un estilo de pensamiento. Los mensajes que producen el poeta y el matemático, son creados para revelar los secretos de la vida humana y de la lógica oculta en la arquitectura de la realidad. Para aprender poesía no hay un manual, se debe aprender en contacto con la lectura del universo de propuestas en la literatura. Para aprender cálculo debemos aprender de los ya desarrollados cálculos publicados en una amplia literatura internacional. En el caso de Maxwell hay innumerables formas para transformar sus ecuaciones. Sin embargo, afortunadamente hay un secreto clave para su aprendizaje. 

El punto es que cuando Maxwell traduce sus ecuaciones de la electricidad y el magnetismo calculó que la propagación de estas ondas juntas de energía invisible se mueven a la velocidad de la luz. En cuestión de décadas, esta revelación cambió el mundo cuando Einstein introduce en su relatividad este límite cosmológico de la velocidad de la luz. Es extraño que el cálculo sea un experimento mental en el dominio imaginario de símbolos y de la lógica. Sin embargo, la lógica del cálculo puede utilizarse como una verdad del mundo real para generar otro artificial en que se experimenta con modelos ideales. El cálculo hacia el mundo real plantea que lo que este determina podría ser una verdad empírica que aguarda verificación experimental. De esta manera, el cálculo le permitió a Albert Einstein predecir la existencia de agujeros negros y ondas de gravedad cien años antes de que existiera tecnología para medir estos existenciales. El cálculo es una poderosa herramienta de imaginación objetiva para la ciencia y la ingeniería. 

Pero, por qué la realidad de nuestro universo debería respetar el funcionamiento de la lógica matemática del cálculo. Esto es un misterio sorprendente del que el mundo esté hecho en su organización matemática de lo mismo que está hecho nuestra base axiomática que es cimientos del cálculo. La adecuación del lenguaje del cálculo matemático a las ecuaciones fundamentales de la realidad es un regalo maravilloso que no entendemos por qué no lo merecemos^[5]. 

Pero la historia de este regalo se remonta a Pitágoras, cuando descubrió que la música es gobernada por el cociente de números enteros. Lo que distingue al cálculo del resto de las matemáticas es solo una idea de principio a fin. Cuando nos damos cuenta de esta idea, la estructura del cálculo cae en su lugar como un tema unificador. Por desgracia los profesores comunes entierran esto debajo de muchas fórmulas. Se trata del principio del infinito. 

Referencias

[1] C. Prun, J. Quantitative Linquistics 4, 244 (1997). https://arxiv.org/pdf/cs/0408041.pdf

[2] Pinker, S. (2018). Los ángeles que llevamos dentro: El declive de la violencia y sus implicaciones (Spanish Edition).

[3] Paz, O. (2005). El Arco y La Lira: El Poema, La Revelacion Poetica, Poesia E Historia (Seccion de Lengua y Estudios Literarios). Fondo de Cultura Economica, Mexico.

[4] Danielson, C. (2010). Writing papers in math class: A tool for encouraging mathematical exploration by preservice elementary teachers. School Science and Mathematics, 110(8), 374-381.

[5] Hillery, M. O. S. M., O’Connell, R. F., Scully, M. O., & Wigner, E. P. (1984). Distribution functions in physics: fundamentals. Physics reports, 106(3), 121-167.