Texto académico

Autores

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Gladys Juárez Cisneros
Filho Enrique Borjas García
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán

7. Estructuras

Dentro de las muchas estructuras de interés físico, químico o biológico  describimos el término número como un escalar generado por una función escalar. Incluimos como cantidades escalares (espacio escalar) a la masa, el volumen, la energía y el número de moléculas de gases entre muchas otras. Las cantidades de este tipo se denominan escalares. Sin embargo, los escalares no son suficientes para describir muchas situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo, al orientar a alguien sobre nuestra ubicación, requerimos proporcionar dos piezas de información, la dirección y la distancia. La estructura que contiene en su naturaleza matemática estas dos piezas, es el “vector”, este combina longitud, codifica la geometría de la distancia y la dirección respectivamente. Las cantidades vectoriales juegan un papel importante en la física, la química, la biología y en las ciencias económicas entre otras. 

Un espacio vectorial, lo definimos como una clase importante de conjuntos de vectores que se denominan espacio vector. Los espacios se pueden mirar desde perspectivas diferentes, primero son espacios vectoriales por propio derecho, segundo proporcionan un lenguaje en el que se pueden describir las propiedades de los espacios. Esta definición puede sernos muy útil para considerar como una cantidad vectorial está asociada a las propiedades físicas en el espacio: campo de gravedad, campo eléctrico, campo de Higgs.

Dado un sistema de coordenadas en dos dimensiones, un vector describe la posición de dos puntos en relación entre sí, específica a través de dos números la separación entre los puntos en las direcciones de coordenadas. Estos números definen los componentes del vector en el sistema de coordenadas elegido. Un vector se representa gráficamente mediante una flecha que conecta sus puntos definitorios. La longitud de la flecha mide la distancia entre los puntos y su dirección u orientación relativa. Tenga en cuenta que se obtiene la misma flecha para dos puntos que tienen la misma distancia relativa y orientación, independientemente de su ubicación real. 

Los vectores se pueden concatenar para definir un nuevo vector. Se dan por la suma de los componentes respectivamente. También, un vector puede multiplicarse por un escalar para cambiar su longitud. Se llama espacio a todos los vectores en dos dimensiones (x,y) en . Esto muestra diferentes maneras de ver a los vectores y su representación a través de sus componentes. Podemos pensar a los vectores como objetos geométricos definidos como clases de flechas en el plano, . Las flechas son únicas hasta la descripción una vez que se ha elegido un sistema de coordenadas, cada vector puede presentarse en sus componentes dimensionales, en este caso . Sin embargo, tenga en cuenta que la descripción cambia si se eligen más dimensiones para el sistema de coordenadas, por ejemplo (x,y,z) en . Sumar vectores o estirarlos al multiplicar por un escalar, son operaciones que corresponden a vectoriales operados geométricamente, esta situación algebraica y geométrica son equivalentes. Un vector puede ser escrito de maneras diferentes:

Un vector en un espacio estándar está definido por , n un número arbitrario de dimensiones espaciales. Definimos al espacio vectorial como el conjunto de todos los vectores multicomponentes:

Los elementos x son vectores componentes. En la parte introductoria de este texto, los vectores los denotamos en negritas. Los componentes del vector x son referidos por . Para ahorrar tiempo el espacio lo podemos expresar en la línea como , donde T se habla de trasponer. Finalmente, n se llama dimensión en .

Un espacio vectorial es más que un grupo de elementos unido a reglas de composición, es un conjunto de objetos multicomponentes. Los vectores se pueden multiplicar por números reales ax, sumar y restar, . Sin embargo, note que los vectores no pueden multiplicarse o dividirse simplemente entre sí. es un espacio vectorial dentro de muchos tipos de espacios en física y matemáticas. 

Definimos un espacio vectorial como geométrica de flechas y en términos algebraicos como los generados por adición y multiplicación por un número escalar. El enfoque algebraico está determinado por su generalidad y de hecho,  los vectores relevantes para la física tienen una interpretación gráfica geométrica visual. No el caso de vectores de n dimensiones usados en el criptograma de códigos en la teoría de la información, que solo son expresados en forma algebraica al modo de grupos.

Los vectores son objetos que se pueden agregar entre sí y multiplicar por elementos de un campo de números F. Donde F=. 

Un F vector espacio es un triplete , consiste de un conjunto V, un rol de adición vectorial:

,        ,

Y el rol de multiplicación por un escalar:

,        

Donde v,w son vectores y a un escalar.

Axiomas del espacio vectorial. La adición de vectores (v,+), se define como un grupo abeliano. El elemento neutro para la adición es el vector 0, o llamado vector nulo. El elemento inverso de un vector es el negativo -v. La multiplicación por un escalar satisface los roles:

:

La primera parte de la definición , formaliza la adición de vectores. En el caso del vector nulo 0 en . Nosotros podemos pensar en ello como un vector flecha encogido hasta un punto y por lo tanto, no apunta a ningún lado. La adición de este objeto a otro vector no hace nada. El vector -v negativo, puede ser interpretado como un vector que apunta en la dirección opuesta al vector v. Así que;

Equivale a pensar: