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8. Geometrías


Las geometrías euclidianas y otras se distinguen por las transformaciones que conservan sus propiedades esenciales. Utilizando el álgebra lineal y los grupos de transformación, son legibles de cómo estas geometrías clásicas se diferencian y se conectan. Las geometrías proyectivas e inversas para construir geometrías lineales y circulares, incluyen espacios métricos reales como euclidianos, hiperbólicos, elípticos y esféricos, así como sus contrapartes unitarias. 


La invención de las coordenadas se atribuye a Pierre de Fermat (1601-1665), y a René Descartes (1596-1650), unieron lo que se había visto como los reinos separados de la geometría y el álgebra. Las conexiones aún más profundas fueron reveladas por el desarrollo posterior de nuevos tipos de geometría y la sistematización del álgebra. Antes de proceder a examinar algunas de esas conexiones, será útil establecer algunos hechos básicos sobre la geometría y los sistemas algebraicos. La obra "Elementos" de Euclides se ocupa de puntos, líneas y planos, además de propiedades de figuras geométricas como triángulos, círculos y esferas. Entre los conceptos fundamentales de la geometría del plano euclidiano se encuentran la colinealidad, la congruencia, la perpendicularidad y el paralelismo. Un tratamiento riguroso también implica relaciones de orden y continuidad no tratadas explícitamente en Elementos. Al omitir o modificar algunos de estos conceptos, se puede construir una variedad de otras geometrías: los planos afín y proyectivo real, la esfera inversa real y las llamadas geometrías no euclidianas. Todos estos sistemas alternativos tienen extensiones a espacios de dimensiones más altas. 


Dos puntos en el plano euclidiano están unidos por una línea única y la línea es de extensión infinita. Distancias y áreas pueden medirse con una unidad de longitud elegida arbitrariamente. Los ángulos rectos proporcionan un estándar para la medida angular. El postulado euclidiano es equivalente a la afirmación de que a través de cualquier punto que no esté en una línea dada no se puede dibujar una sola línea que no la intersecte (los otros postulados implican la existencia de al menos una de esas líneas). De estas suposiciones se deduce, que la suma de los ángulos interiores de cada triángulo es igual a dos ángulos rectos y que (el área de)  el cuadrado en la hipotenusa de un triángulo recto es igual a la suma de (las áreas de) los cuadrados en los dos lados.


En el plano afín Real R2 es el plano euclidiano sin perpendicularidad.  No hay forma de medir ángulos y, las distancias solo se pueden comparar para puntos en una línea o en líneas paralelas. Sin embargo, todavía se puede determinar las áreas. Hasta el tamaño, todos los triángulos son equivalentes, al igual que todos los paralelogramos; no existe tal cosa como un triángulo recto o cuadrado. Las cónicas solo se pueden distinguir como elipses, parábolas e hipérbolas, no hay círculos. 


Al adoptar la convención de que todas las líneas afines paralelas en una dicción determinada se encuentran en un punto en el infinito único y que todos esos puntos se encuentran en una sola línea en el infinito, eliminamos el paralelismo. Cuando admitimos los nuevos puntos y la nueva línea en el pliegue con los mismos postulados y privilegios que todas las demás, tenemos el plano Proyectivo P2. Las incidencias ahora exhiben un principio de dualidad: los dos puntos se unen con una línea única y, las dos líneas se encuentran en un punto único. La medida angular, la distancia y el área son identificadas. No todos los cuadriláteros son iguales y solo hay un tipo de cónico no degenerado. La congruencia, la perpendicularidad y el paralelismo han desaparecido, solo queda la noción de colinealidad. 


Alternativamente, el plano euclidiano puede recibir la topología de una esfera mediante un único punto excepcional común a todas las líneas. Una línea puede entonces ser considerada como una especie de círculo. Las líneas extendidas y los círculos ordinarios juntos forman un conjunto de círculos inversivos en la esfera inversa real I2. Cualesquiera tres puntos que se encuentran en un círculo inversivo único; son concíclicos. Dos círculos pueden encontrase en dos, uno o ningún punto real. La distancia entre dos puntos no se puede medir, pero el ángulo entre dos círculos intersectantes puede ser. Por lo tanto, la colinealidad ha sido reemplazada por la concíclica y la perpendicularidad sigue siendo significativa, pero la congruencia y el paralelismo han sido eliminados. 


Aunque durante mucho tiempo se sospechaba de un teorema disfrazado, el postulado paralelo finalmente se demostró que era independiente de las otras suposiciones que rigen al plano euclidiano. Reemplazándolo con la hipótesis contraria, que a través de cualquier punto que no está en una línea dada hay más de una línea que no lo intersecta; obtenemos el plano hiperbólico de Bolyai y Lobachevsky. Además, si no suponemos que las líneas son de longitud infinita, podemos construir una geometría métrica en la que no hay líneas no intersecantes: en el plano elíptico (el plano proyectivo con una métrica), las dos líneas se encuentran en un punto. 


En la esfera elíptica (o simplemente la esfera), los puntos vienen en pares antípodos, y el papel de las líneas es jugado por grandes círculos; dos puntos no antipodales se encuentran en un gran círculo único, y dos grandes círculos cualesquiera se encuentran en un par de puntos antipodales. Cuando se identifican puntos antípodos, los grandes círculos de la esfera elíptica se convierten en líneas del plano elíptico (las dos geometrías a veces se les distingue como planos doble elípticos y único elíptico). Otra posibilidad es la esfera hiperbólica, que comprende dos hemisferios antípodos separados por un círculo ecuatorial de puntos autoantipodales. Dos grandes círculos se encuentran en un par de puntos antípodas, son tangentes a un punto ecuatorial o no se encuentran. La identificación de puntos antípodas convierte grandes círculos de la esfera hiperbólica en líneas del plano hiperbólico. 


Los planos hiperbólicos, elípticos y esferas elípticas constituyen las geometrías clásicas no euclidianas. Junto con la esfera hiperbólica, el plano euclidiano comparte la noción de colinealidad (o concíclica), congruencia y perpendicularidad. Una diferencia notable es que la suma de los ángulos interiores de un triángulo no euclidiano depende  de su área, siendo proporcionalmente mayor que dos ángulos rectos para un triángulo elíptico (esférico) o proporcionalmente menor par uno hiperbólico. Aunque, cada geometría puede basarse en un conjunto seleccionado de postulados, un enfoque más instructivo caracteriza a las geometrías en grupos de transformación.