Campos vectoriales

Y teoría electrostática

Unidad 2. 

Teoría electrostática

Cargas eléctricas opuestas de afinidad singular generan fuerzas eróticas de pasión (ley de Coulomb versión Octavio Paz).

El amor es individual o, más exactamente, queremos únicamente a una persona y le pedimos interpersonal a esa persona que nos quiera con el mismo afecto exclusivo. La exclusividad requiere la reciprocidad, el acuerdo del otro, su voluntad. Así pues, el amor único colinda con otro elemento esencial para su existencia: la libertad. A falta de libertad se da un corto circuito que detiene el corazón.

Desde la época de Newton, destacados científicos habían creído que el universo estaba gobernado por leyes mecánicas: objetos materiales con energía que provocan fuerzas. Para ellos, el espacio circundante no era más que un escenario pasivo. La extraordinaria idea presentada por Faraday y Maxwell era que ese espacio actúa como repositorio de energía t transmisor de fuerzas de campo electromagnético. La primera noción de Faraday de líneas de fuerza, que en aquel tiempo fueron ridiculizadas, se convirtió en la segunda revolución científica de la mano de la teoría matemática de Maxwell, que predijo que cada vez que giramos un imán o una corriente eléctrica, una onda de energía electromagnética se extendería hacia fuera en el espacio como una onda en un estanque, cambiando la naturaleza del propio espacio. Maxwell calcula la velocidad de las ondas con propiedades elementales de electricidad y magnetismo, y resultó ser la misma velocidad de la luz. Conjeturó que la luz visible es solo una pequeña banda en un amplio espectro de ondas electromagnéticas, todas viajando a la misma velocidad pero con longitudes de onda que pueden variar de nanómetros a kilómetros. Todo esto seguía siendo solo una teoría con más escépticos que los adeptos hasta que 25 años después, cuando Hertz enfáticamente lo verificó al producir y detectar lo que ahora conocemos como ondas cortas de radio, así se abrió la puerta a las regiones hasta ahora inimaginables de los conocimientos científicos.

Es casi innecesario exagerar el logro de Faraday y Maxwell, cuando este concepto de campo electromagnético está en toda nuestra tecnología moderna de telecomunicaciones, electrónica, eléctrica y computacional. Ellos unieron electricidad, magnetismo y luz en una teoría simple y compacta; ello cambió nuestra forma de vida en cómo iluminamos hogares, comunicamos masivamente mensajes, navegamos con GPS’s, teléfonos inteligentes, radares, satélites, televisión, cine, dinamizan la cultura. Pero fue hasta la teoría especial de la relatividad inspirada por Einstein lo que introdujo la idea de ecuaciones de campo, que se convirtió en la forma estándar utilizada por los físicos de hoy para explicar lo que pasa en la inmensidad del espacio-tiempo y dentro de los átomos del modelo estándar. Faraday y Maxwell han atraído a su parte historiadores por su mayúscula importancia. Aparte de su talento, ambos fueron admirables hombres de espíritu generosos con su ciencia, regalándole al mundo un futuro que hoy es el nuestro. Uno fue autodidacta hijo de un herrero pobre y el otro un hijo educado en Cambridge de un laird escocés. Fueron sus vidas unidas por la curiosidad sobre el mundo físico y su determinación de titanes averiguaron el funcionamiento del electromagnetismo, formando un vínculo fuerte de colaboración y amistad arriesgando todo para desafiar costumbres científicas y convenciones dogmáticas de la época. La teoría del campo electromagnético es su creación conjunta y su propia historia entrelazada de estos dos grandes personajes. 

Electricidad y magnetismo es ahora una rama clásica de la física y su desarrollo. En 1600 William Gilbert demostró que no era solo el ámbar como lo creyeron los Griegos antiguos, el único que posee propiedades de electrificación. Para comenzar el estudio de la electricidad, considere los efectos que producen una serie de cargas y fuentes de cargas en una determinada carga de prueba. Las fuentes de carga son origen del efecto sobre una carga de prueba, mas tarde ese estudio cambió con el concepto de campo, a cargas de las fuentes de campo. Para simplificar los cálculos, inicialmente las cargas  están en un vacío y se toman en reposo con respecto de las demás. ¿Qué fuerza se produce en la carga de prueba por las fuentes estacionarias de carga? La respuesta aparece de la experimentación,  y asume sus resultados como una Ley física llamada de Coulomb. 

2.1 Fuerzas eléctricas y campos

La electricidad se ha convertido en omnipresente en la vida moderna, tanto que rara vez pensamos en la vida sin ella. Aunque para los antiguos griegos, primero comenzó a experimentase con la electricidad alrededor del 700 A.C., no fue hasta los siglos XVIII y XIX que comenzamos a entender claramente la electricidad y cómo aprovecharla. En este apartado, vamos a discutir las cargas eléctricas y la fuerza eléctrica, cuantificados a través de la ley de Coulomb, e introducir el campo eléctrico asociado con cargas. Con estos conceptos, vamos a ser capaces de explicar muchos de los fenómenos electrostáticos de innumerables tecnologías que nos rodean.

En el siglo XVIII se inició la investigación de los fenómenos eléctricos, Stephen Gray y Jean Desaguliers experimentaron con alambres, tubos de vidrio, frotándolos con corcho observando que se electrificaba el vidrio, manifestando fuerzas de atracción sobre trozos de papel. Si bien, ellos en 1729 no fueron los primeros, superaron el razonamiento de Tales de Mileto, identificando lo que en términos modernos se llama carga eléctrica^[1]. Las cargas se pueden mover de un cuerpo a otro mediante conductores, o pueden ser aisladas por materiales no conductores como madera, cerámica, plásticos entre otros. Pero fue Francois du Fay en 1734 quien al manipular dos tubos de vidrio previamente electrizados identificó fuerzas de repulsión, afirmando que cargas iguales se repelen y contrarias se atraen^[2].  

Probablemente usted ha notado que después de utilizar un peine de plástico a través de su pelo, el peine puede atraer pequeños podados de papel. A menudo, esta atracción es suficientemente fuerte como para suspender el papel en el peine, completamente contrarrestando la fuerza de la gravedad. Otro experimento sencillo es frotar un globo inflado contra una camisa o el cabello, con el resultado de que el globo  luego se adhiere a la pared o el techo. Ambas situaciones surgen porque los materiales involucrados se han convertido con carga eléctrica.

Un objeto que se carga eléctricamente ha creado un desequilibrio de carga eléctrica. ¿Qué es la carga eléctrica? Los experimentos han demostrado algunos hechos básicos acerca de las cargas eléctricas. Las propiedades básicas de las cargas eléctricas son:

• Hay dos tipos de carga eléctrica: positiva y negativa.
• Las cargas eléctricas iguales se repelen entre sí; cargas diferentes se atraen. 
• Las cargas se dan en unidades discretas.
• Los protones son las cargas positivas, los electrones son las cargas negativas.
• Objetos eléctricamente neutros tienen un número igual de cargas positivas y negativas.
• Objetos eléctricamente no neutros experimentan una fuerza eléctrica en presencia de cargas eléctricas.

Objetos normales por lo general contienen cantidades iguales de cargas positivas y negativas, es decir, son eléctricamente neutros. Las fuerzas eléctricas surgen solo cuando hay una diferencia en la carga eléctrica, y los objetos tienen una carga neta positiva o negativa. En la escala atómica, los portadores de carga positiva son los protones junto con los neutrones, que no tienen carga eléctrica, comprenden el núcleo de un átomo (que está a unos 10^-15 m de ancho). Los electrones son los portadores de carga negativa. En un gramo de materia normal, hay cerca de 10²³ protones y un número igual de electrones, por lo que la carga neta es cero.

Los electrones son mucho más ligeros que los protones, y son más fácilmente acelerados por las fuerzas. Además, ocupan las regiones exteriores de los átomos, y son más fáciles de ganar o perderlos. Los objetos que se cargan así ganan o pierden electrones, pero no protones.  La Tabla 2.1 presenta algunas propiedades de protones, electrones y neutrones.

Tabla 2.1 Propiedades de electrones, protones y neutrones

La carga puede ser transferida de un material a otro. Muchas reacciones químicas son, en esencia, la transferencia de una especie a otra. Frotar dos materiales juntos facilita este proceso al aumentar el área de contacto entre los materiales - por ejemplo, frotar un globo en su cabello-. Dado que es una ganancia o pérdida de electrones que dan una carga neta, esto significa que cuando los objetos se cargan, la carga negativa se transfiere de un objeto a otro. La unidad de carga: en el SI es el Coulomb, C.

2.2 Aislantes y conductores

¿Cómo los materiales responden al quedar cargados? ¿Qué entendemos por "quedar cargados"? Esto será más evidente en breve, pero por ahora, vamos a suponer que "carga" significa desequilibrio del número de partículas subatómicas que confieren la carga eléctrica en un material. Una carga negativa neta se puede lograr mediante la adición de un exceso de electrones a un material, y una carga positiva neta puede ser creada mediante la eliminación de algunos electrones de un material.

Para nuestros propósitos, los materiales responden a quedar cargados en una de dos maneras:  con exceso de cargas que pueden moverse libremente y distribuidas uniformemente en el objeto, o el exceso de carga puede permanecer localizado en la región en la que se creó. Conductores y aislantes son dos amplias clases de materiales, que se ajustan a estos criterios - en los conductores, el exceso de cargas se mueve libremente en respuesta a una fuerza eléctrica-.  En todos los otros materiales se les llama aislantes, y las cargas en ellos no se mueven libremente.

De hecho, no hay nada especial en concreto  en el exceso de carga. El exceso de carga se moverá en el material de la misma manera para cualquier material. En otras palabras, los conductores son materiales en general, donde las cargas se mueven libremente y aislantes son materiales en general en los que no lo hacen. No tiene por que haber exceso de carga para que esto sea cierto, los cargas dentro de los conductores se encuentran todavía en movimiento, aunque, sobre todo, se anulan entre sí.

Conductores:

• Por ejemplo metales como plata, oro, aluminio, acero, cobre…
• Cargas móviles, se  mueven en respuesta a una fuerza.
• Con gran número de cargas.
• La carga se distribuye uniformemente sobre la superficie del material.

Aislantes:

• Por ejemplo el vidrio, la cerámica, caucho y plásticos.
• Las cargas son inmóviles.
• La carga depositada en un aislante permanece local.

Semiconductores:

• Por ejemplo  silicio, arseniuro de galio, germanio,…
• Entre conductores y aislantes.
• Las cargas son muy móviles ...
• ... pero el número de cargas es pequeña, depende por ejemplo, de la temperatura y pureza.
• Las propiedades conductoras pueden variar ampliamente.

El cobre y el aluminio son conductores típicos. Cuando los conductores se cargan en una pequeña región, la carga se distribuye fácilmente en sí sobre toda la superficie del material. Por lo tanto, una carga en el conductor siempre se distribuye por igual en toda su superficie. La carga fluye a través de un conductor con facilidad, y si se les da una oportunidad, fuera de él. Se trata de una corriente eléctrica, como veremos en breve. El vidrio y la goma son aislantes típicos. Cuando aisladores son atraídos y se pegan con un material cargado (por ejemplo, por el roce), solo las áreas de frotamiento se pegan. No hay tendencia a que la carga fluya a otras regiones del material -carga depositada en aisladores se quedará localizada en una pequeña región-.

2.2.1 Carga por conducción

La conducción se carga a través del contacto físico, se da el movimiento electrónico de un objeto a otro. Un ejemplo, cuando está cargando un globo por el roce de su cabello y después de hacer esto, el globo se adhiere fácilmente a la pared o recoge pequeños pedazos de papel, y el pelo se levanta un poco de punta. Lo que realmente ha hecho es transferir carga del globo a su pelo, o viceversa. Cada uno de sus pelos individuales se carga de la misma manera (ya sea todos positivos o negativos, dependiendo de lo que se frota en el pelo), y las hebras individuales se repelen entre sí. Su repulsión hace que quieran maximizar la distancia entre ellos, lo que se consigue como fuerza que irradia hacia el exterior.

Otro ejemplo, considere frotar una varilla aislante (por ejemplo, caucho, vidrio de plástico duro) contra una pieza de seda. El acto de frotar estos dos materiales aislantes forzará físicamente algunas cargas para mover de un objeto a otro. Cuando las cargas son transferidas a la barra aislante, que no se mueven - regiones de carga local, creadas en las regiones frotadas. Ninguna carga se ha creado o destruido, simplemente cambiaron algunas cargas de un lugar a otro. 

Figura 2.1 Ilustra el proceso de carga de un objeto metálico por conducción. En este ejemplo, se toma una barra de caucho  que ya fue cargada (por ejemplo, con un pedazo de seda o el pelo), y se aplica a que  cargue un tercer objeto.

Tome una barra cargada de goma, acérquela a una esfera metálica conductora suspendida de un hilo aislante. Que la barra cargada redistribuya la carga sobre la esfera metálica. El contacto de la esfera y la barra provoca que las diferencias de carga se neutralicen. Cargas negativas salen de la varilla para neutralizar cargas positivas en la esfera. Y esto deja una región negativa neta sobre la esfera. 

2.2.1.1 Conexión a tierra

Suena bastante simple. ¿Por qué no podemos simplemente tomar un pedazo de tubo de cobre y frotarlo con un paño? Usted puede, si se tiene cuidado de observar que las cargas fluyen uniformemente a través de un conductor, y si es posible, fuera del conductor completo. Solo conductores aislados pueden ser cargados, conductores eléctricamente contactados no pueden. Por "conectado eléctricamente," entendemos que el conductor con que estamos tratando de cargar no puede tener ningún tipo de vía conductora a tierra. La tierra puede considerarse (esencialmente) reserva infinita de electrones, con la función de fuente o hundimiento de tantas cargas como sea necesario. Como las cargas se distribuyen uniformemente sobre una superficie conductora, si había un camino a la tierra, las cargas móviles seguirían a la tierra, y hasta que no se queden en el conductor.

Dado un camino conductor a tierra, las cargas del conductor siempre seguirán fluyendo por el camino. Si las cargas pueden encontrar la forma a tierra, van a llegar (por ejemplo, a través de tuberías, cables o ¡Usted!. Otra frase para esto, es  estar con conexión a la Tierra o aterrizados. Esto es cuando que accidentalmente hacemos conexión entre una cargada (o corriente de carga) de alambre a Tierra... con resultados potencialmente mortales. El llamado "interruptor térmico automático" detecta cuando esto sucede, y muy rápidamente rompe la conexión para la seguridad de instalaciones y usuarios.

¡Resulta también que un conductor permite que las cargas fluyan a distancia! Además, cualquier carga transferida a la varilla de cobre, fluirá a través de ella, y través de Usted hasta el suelo o tierra física si encuentra esta conexión. En la "toma de tierra" o "punto de tierra" es el lugar en un circuito eléctrico que está conectado a propósito de la tierra, ya sea por razones de seguridad o simplemente para proporcionar un punto de referencia a equipamiento eléctrico. El punto de tierra (o simplemente "tierra") en un diagrama de circuito eléctrico suele aparecer como esto:

2.2.2 Carga por inducción

¿Podemos nosotros cargar sin hacer contacto con un objeto? ¡Sí! Esta es una carga de inducción. Ahora necesitamos explícitamente un punto de tierra o punto de referencia para que esto funcione. Un objeto conectado a un hilo conductor o tubería enterrada en la tierra se dice que está conectado a tierra física, la Tierra misma es el punto de tierra. Como se mencionó anteriormente, la Tierra puede considerarse una reserva infinita de electrones, el abastecimiento o hundimiento en un infinito de número de cargas. 

La Figura 2.2 ilustra el proceso de carga de un objeto metálico por inducción. Para cargar un objeto por inducción, no se requiere contacto con el objeto. En primer lugar, tomamos un conductor esférico aislado de metal. De nuestra discusión anterior, es crucial que no contacte a tierra la esfera. Se cuelga de un hilo de algodón  como soporte aislante. A continuación, llevamos una varilla cargada negativamente y muy cerca de la esfera, pero sin tocarla. Podemos preparar una varilla de vidrio con carga negativa por frotación con seda (carga el cristal por conducción). 

Fig. 2.2 Carga de un objeto metálico por inducción. a) Una esfera metálica neutral con igual número de cargas positivas y negativas. b) La carga en una esfera de metal neutral se redistribuye cuando una varilla se pone cerca de ella. c) Cuando la esfera es entonces puesta a tierra, algunas de las cargas negativas (electrones) la dejan a través del cable de tierra. d) Cuando la conexión a tierra se elimina, el exceso de carga positiva se deja en la esfera. e) Cuando se retira la varilla cargada, el exceso de carga positiva se redistribuye en sí misma en la superficie de la esfera de manera uniforme.

Lleve una varilla cargada negativamente cerca (pero no tocar) de la esfera. Esto crea un desequilibrio de cargas sobre la esfera, debido a la repulsión de la barra cargada. Ponga a tierra  el lado opuesto de la esfera - el desequilibrio de la carga obliga a algunos electrones a fluir hacia el suelo, ¡desconecte el cable de tierra!, esto deja una carga neta + en la esfera. Retire la varilla cargada, la carga neta se tiene que quedar en la esfera, y se distribuirá uniformemente sobre la superficie.

Cuando la varilla cargada está cerca de la esfera conductora, las cargas negativas en la varilla repelen las cargas negativas (electrones libres) en la esfera, con el resultado de que la media de la esfera tendrá una carga neta negativa (Fig. 2.2b). Ahora, si tomamos un hilo conductor y conecta el extremo más alejado de la esfera a tierra (Fig. 2.2c), el exceso de carga negativa en ese lado, repelido por la barra, va a querer fluir por el alambre a tierra, efectivamente drena una cantidad de carga negativa de la esfera. Una vez que hemos hecho esto, la esfera tiene ahora una carga neta positiva.

Con la toma de extracción a tierra, Fig. 2.2d, instantáneamente dejar el lado de la esfera, cargada positivamente, y el otro lado (casi) sin carga, ya que solo drena las cargas negativas. Después de un tiempo muy corto, la esfera conductora alcanza el equilibrio, y debe tener una distribución uniforme de la carga en la superficie del conductor. Por lo tanto, el exceso de carga positiva ha de ser distribuida uniformemente sobre la superficie de la esfera. Nosotros nos quedamos con una esfera conductora cargada positivamente.

Un proceso similar al de carga por inducción en los conductores se lleva a cabo en aislantes (tales como átomos neutros o moléculas, en particular). La presencia de un objeto cargado puede resultar en más carga positiva en un lado de un cuerpo aislante que en el otro, por la reorganización de las cargas en las moléculas individuales. Este proceso se conoce como polarización.

Nuestra discusión de carga nos permite ahora apreciar la distinción entre conductores y aislantes. La diferencia en el grado de conductividad entre conductores y aislantes es asombrosamente enorme, un factor de . Por ejemplo, una esfera de cobre cargada conectada a la tierra pierde su carga en una millonésima de segundo, mientras que una esfera de cristal por lo demás idéntica puede mantener su carga por años.

2.3 Ley de Coulomb

Cuando cargue dos objetos, como un globo y el pelo, invariablemente termina observando una atracción o repulsión entre los objetos cargados. ¿Cuál es el carácter de esta fuerza? ¿Cómo, depende de lo lejos que están separados, o cualquier otra cosa? Si continúa experimentando con objetos cargados, usted encontrará que la fuerza debida a objetos con carga eléctrica tiene las siguientes propiedades:

Una fuerza eléctrica tiene las siguientes propiedades:

1. Está dirigida a lo largo de una línea que une las dos partículas.

2. Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa .

3. Es proporcional al producto de las magnitudes de las cargas, y , de las dos partículas.

4. Es atractiva si las cargas son de signo opuesto y repulsiva si las cargas tienen el mismo signo.

Estas propiedades llevaron a Coulomb a proponer en función de la evidencia experimental una forma matemática para la fuerza eléctrica entre dos cargas. La Ley de Coulomb establece que la fuerza entre dos cargas  y , separadas por una distancia  viene dada por:

      Ec. 2.1

donde k es la "constante de Coulomb,"  y  es un vector que apunta a lo largo de una línea que une las dos cargas.

La ecuación 2.1 se conoce como "la ley de Coulomb". Establece que solo depende de lo grande que son las cargas ( y ), y lo lejos que están (). Tenga en cuenta que la fuerza es un vector y el vector unitario adimensional nos recuerda que la fuerza eléctrica se dirige a lo largo de una línea que une las dos cargas y .

La figura 2.3 muestra esquemáticamente la fuerza eléctrica entre dos cargas. La distancia entre las cargas se da en la unidad SI en metros, [m], y las cargas y se miden en la unidad SI de carga, el Coulomb, [C]. Las cargas pueden ser positivas o negativas, lo que hace que la fuerza resultante sea repulsiva cuando ambas cargas tienen el mismo signo, y atractiva cuando son diferentes. La k es la constante de Coulomb para la fuerza relativa eléctrica, tal como G da la fuerza relativa de la fuerza gravitatoria, y tiene el valor SI y unidades:

Fig. 2.3 Fuerza eléctrica entre cargas puntuales. (a) Dos partículas Q₁ y Q₂ ambas tienen cargas positivas. La fuerza es de repulsión, como lo sería para dos cargas negativas, y dirigido a lo largo de la línea discontinua que conecta las dos cargas. El vector unitario r₁₂ se indica. (b) Dos partículas Q₁ y Q₂ con cargas de signo opuesto, separadas por una distancia  r₁₂. La fuerza es ahora atractiva.

          Ec. 2.2

En la mayoría de los cálculos, k se puede redondear con seguridad a , lo que hace que sea un poco más fácil de recordar. También, k es más grande que G, la fuerza eléctrica es mucho más fuerte que la fuerza de gravedad. Un par de cargas de  1 Coulomb que interactúan a través de la fuerza eléctrica, es el mismo que dos masas de kilogramos que interactúan a través de la fuerza de gravedad. De manera equivalente, se podría decir que la gravedad es solo excepcionalmente débil frente a la fuerza eléctrica.

Cuando una serie de cargas separadas actúan sobre una sola carga, cada uno ejerce su propia fuerza eléctrica. Todas estas fuerzas eléctricas pueden calcularse por separado, una a la vez, y después se añaden como suma de componentes vectores. Este es el principio de superposición de gran alcance, el mismo que utilizó con la gravitación. Esto hace que el cálculo de la fuerza neta de muchas cargas sea mucho más simple de lo que piensa. De hecho, la gravedad y las fuerzas electrostáticas tienen varias similitudes, con algunas diferencias cruciales, que enumeramos a continuación:

a) La fuerza eléctrica es similar a la fuerza gravitatoria:

1. Ambos actúan a distancia, sin contacto directo.

2. Ambos actúan en un vacío, sin un medio, y se propagan a una velocidad c.

3. Ambos son inversamente proporcional a la distancia al cuadrado, con la fuerza dirigida a lo largo de una línea que conecta los dos cuerpos.

4. La forma matemática es la misma, si uno intercambia k y G.

5. Ambas gravitatorias (masas) y eléctricas (cargas) obedecen el principio de superposición.

6. Ambos son fuerzas que se conservan. 

b) La fuerza eléctrica es diferente de la fuerza de la gravedad:

1. Las fuerzas eléctricas pueden ser atractivas o repulsivas. La gravedad es solo atractiva.

2. Las fuerzas gravitacionales son independientes del medio, mientras que las fuerzas eléctricas dependen del medio que interviene.

3. La fuerza eléctrica entre partículas elementales cargadas es mucho más fuerte que la de la fuerza de gravedad entre las mismas partículas.

Técnicamente la ley de Coulomb se aplica en esta forma matemática particular, solo para cargas puntuales o distribuciones de cargas esféricas (en cuyo caso r₁₂ es la distancia entre los centros de las distribuciones de carga). La ley de Coulomb cubre fuerzas electrostáticas, que son lo que llamamos fuerzas entre cargas inmóviles (estacionarias). En realidad solo tenemos que tener cuidado cuando tenemos cargas que se mueven a velocidades muy altas, o cuando las cargas se aceleran. Cargas aceleradas producen radiación electromagnética o luz, lo que se llama electrodinámica. 

2.4 El Campo eléctrico 

Tanto la fuerza de la gravedad y la fuerza electrostática son capaces de actuar en el espacio, sin ningún contacto físico o intervención de un medio material. Es decir, las fuerzas eléctrica y gravitacional pueden actuar a través de un espacio vacío. Este tipo de fuerzas son conocidas como fuerzas de campo. Correspondiente a la fuerza electrostática de un campo eléctrico que existe en la región del espacio, el campo eléctrico ejerce una fuerza eléctrica sobre cualquier otro objeto cargado dentro del campo.

El concepto de campo  elimina parcialmente el enigma de "fuerza a distancia", ya que la fuerza de un objeto cargado ahora se dice que es causada por el campo eléctrico en ese punto en el espacio.

El campo eléctrico producido por una carga q en el lugar para una pequeña carga de prueba se define como la fuerza eléctrica ejercida por q sobre , dividida por la carga de prueba.

   o                      Ec. 3.3

La unidad en el SI para el campo eléctrico es el Newton por Coulomb [N / C]. La dirección de  es la dirección de la fuerza que actúa sobre una carga de prueba positiva colocada en el campo.

La carga de prueba es hipotética. Decimos que existe un campo eléctrico en un punto si una carga de prueba en ese momento estaría sujeta a una fuerza eléctrica allí.

Usando las ecuaciones 2.1 y 2.3, podemos escribir la magnitud del campo eléctrico debido a una carga q como la magnitud del campo eléctrico a una distancia r de una carga puntual q:

                    Ec. 2.4

La dirección del campo eléctrico es la misma que la dirección de la fuerza eléctrica, ya que los dos están relacionados por un escalar.

El campo eléctrico producido por una carga depende solo de la magnitud de esa carga que establece el campo, y que tan lejos esa carga se encuentre. No depende de la presencia de una carga de prueba hipotética.

El principio de superposición también es válido para los campos eléctricos, tal como lo hizo para la fuerza eléctrica. Para calcular el campo eléctrico de un grupo de cargas, se puede calcular el campo de cada carga individual, y añadir (como vectores) los campos individuales. La simetría es también muy importante. Por ejemplo, si unas cargas iguales y opuestas se colocan en el eje x en x = a y x = -a, el campo en el origen es cero - los campos de las cargas positivas y negativas se cancelan. 

Tabla 3.2 Valores aproximados de campo eléctrico en [N/C]

2.4.1 Líneas de campo eléctrico 

Una manera conveniente de visualizar el campo eléctrico es dibujar líneas que apuntan en la dirección del vector de campo eléctrico en cualquier punto - las líneas de campo eléctrico-. Las líneas de campo eléctrico tienen tres propiedades fundamentales:

Las propiedades clave de líneas de campo eléctrico:

1. El vector de campo eléctrico es tangente a la línea de campo eléctrico en cualquier punto.

2. La densidad de las líneas (número por unidad de área) es proporcional a la magnitud de .

3. Las flechas en las líneas apuntan en la dirección de que una carga de prueba positiva hipotética se movería. Las flechas no se utilizan siempre.

Así es grande cuando las líneas están muy juntas, y pequeña cuando están muy separadas. A continuación se presentan algunos ejemplos, para que se dé  una idea.

Fig. 2.4 Las líneas del campo eléctrico para cargas puntuales. (a) Para una carga puntual positiva, las líneas se dirigen radialmente hacia afuera. (b) Para una carga puntual negativa, las líneas se dirigen radialmente hacia el interior.

Reglas para las líneas de campo:

1. Las líneas para un grupo de cargas puntuales deben comenzar en las cargas positivas y finalizaran en cargas negativas. Si hay exceso de cargas, algunas líneas comienzan o terminan infinitamente lejos.

2. El número de líneas dibujadas es proporcional a la magnitud de la carga.

3. Las líneas de campo, no pueden cruzarse entre sí.

2.4.2 ¿Qué sucede cuando tenemos dos cargas juntas?

Dos cargas opuestas

La Figura 2.5 muestra líneas de campo simétricas de dos cargas de igual magnitud y de signo contrario. Aquí se han omitido las flechas para la simplicidad, a estas alturas ya debe saber cómo añadirlas en el dibujo. Esta configuración también es conocida como un dipolo eléctrico. El número de líneas a partir de la carga positiva debe ser igual al número de líneas que terminan en la carga negativa. Cerca de cada carga, las líneas son casi radial, y la alta densidad de líneas entre las cargas indica un gran campo eléctrico en esta región. Por último, tenga en cuenta que las líneas son simétricas respecto a una línea que une las dos cargas, y una línea perpendicular entre las cargas.

Fig. 2.5 Dipolo eléctrico

Fig. 2.6 Las líneas de campo correctas para dos cargas del mismo signo, pero de diferente magnitud. 

La Figura 2.5 también muestra las líneas de campo para dos cargas positivas. De nuevo, las líneas están casi radiales cerca de las cargas. Cada carga deja el mismo número de líneas, ya que son de la misma magnitud. Lejos de ambas cargas, el campo se ve casi igual que lo haría con una sola carga doble grande que sea responsable en solitario. Entre las cargas, las líneas de campo "se abultan", lo que representa la naturaleza repulsiva de la fuerza eléctrica entre cargas iguales. Una vez más, tenga en cuenta que las líneas son simétricas respecto a una línea que une las dos cargas, y a una línea perpendicular a la que está  a medio camino entre las dos cargas.

Las simetrías del campo eléctrico que rodean las distribuciones de carga pueden ser muy útiles en la solución de los problemas del campo eléctrico - por ejemplo, sabemos sin mover un lápiz de cálculo que el campo es exactamente cero a lo largo de la línea vertical a medio camino entre las dos cargas.

2.5 Conductores en equilibrio electrostático

Un buen conductor eléctrico es el cobre, incluso cuando eléctricamente es neutro, contiene electrones que no están vinculados a ningún átomo en particular, y que son libres de moverse. Esta es una razón por lo que la carga se distribuye uniformemente sobre la superficie de un conductor - los electrones móviles-.

Aunque los electrones individuales "libres" en el conductor están constantemente en movimiento, en un conductor aislado no hay movimiento neto de carga. Los movimientos aleatorios de todos los electrones libres se anulan. Cuando no se produce ningún movimiento neto de carga, esto se llama equilibrio electrostático. Un conductor aislado es uno que está aislado de la tierra, y tiene las siguientes propiedades:

La primera propiedad es más fácil de entender por pensar en lo que pasaría si no fuera verdad, reductio ad absurdum. Si hubiera campos dentro de un conductor, las cargas libres se mueven, y al "amontonarse" en las regiones del campo superior e inferior (en función de sí son positivas o negativas). Esto contradice la definición misma de un conductor -las cargas se supone que son móviles, y se extienden uniformemente a través del conductor-. Incluso si lo hiciéramos al crear un campo dentro de un conductor, ya que las cargas que son móviles empezarían inmediatamente a fluir a la región del campo eléctrico, reuniendo un número suficiente hasta que se cancelan al cabo de un tiempo. De todos modos, si esto ocurriera, no tienen las cargas equilibrio electrostático, se define porque no hay ningún movimiento neto de cargas.

La segunda propiedad es una consecuencia de la repulsión   de cargas como en la Ecuación 2.4. Si tuviéramos exceso de carga en el interior de un conductor, las fuerzas de repulsión entre estas cargas excedentes empujarían hasta separarse como sea posible. Dado que las cargas son móviles en un conductor, esto sucede fácilmente. Cada carga quiere maximizar su distancia de otra carga, por lo que el exceso de carga migra rápidamente a la superficie.

Fig. 2.7 Un conductor de forma arbitraria de carga positiva.

Esto solo es cierto porque la ley de Coulomb (Ecuación 2.4) es una ley de cuadrado inverso. Uno de los muchos hechos especiales sobre leyes de cuadrados inversos, es el que se ha utilizado para poner a prueba la ley de Coulomb con una precisión asombrosa.

La tercera propiedad también la entendemos al pensar en lo que pasaría si q no fuera cierto, que el campo no fuera perpendicular a la superficie del conductor, tendría que tener un componente paralelo a la superficie. Si eso fuera cierto, las cargas libres en la superficie del conductor se sentirían en este campo, y por lo tanto una fuerza (Ec. 2.3) a lo largo de la superficie se haría presente. Bajo esta fuerza, posteriormente las cargas fluyen a lo largo de la superficie, y una vez más, hay un flujo neto de carga, por lo que por definición, no estarían en equilibrio electrostático.

La cuarta característica es quizás la más fácil de entender geométricamente, como consecuencia de la tercera propiedad. El requisito de que las líneas de campo sean perpendiculares a la superficie provoca la presencia de un fuerte punto con un radio de curvatura alta para el campo eléctrico en esa región, y como resultado, las cargas superficiales móviles fluirán al instante a esta región de alta curvatura. Lo harán hasta que se cancele el campo eléctrico a lo largo de la superficie. En los más agudos puntos de curvatura, las cargas deben fluir en la región para asegurar que el componente paralelo de campo eléctrico superficial está totalmente cancelado. Esto resulta en una densidad de carga de superficie irregular para conductores de forma irregular, pero también un campo eléctrico que es uniforme y perfectamente normal a la superficie en todas partes.

Estas reglas pueden ser más fáciles de captar en forma de dibujos. La Figura 2.8 muestra las líneas del campo entre placas conductoras con cargas opuestas - un ejemplo es un dispositivo conocido como condensador, que estudiaremos más adelante. Obsérvese que el campo en la región entre las placas es muy uniforme, debido al requisito de que sea perpendicular a la superficie de los conductores. Cerca de los bordes de cada placa, el campo "franjas", y empieza la curva ligeramente hacia el exterior. Además de los bordes de las placas, el campo empieza a parecerse a un dipolo. Esto no es casual - el exceso de cargas en los mismos bordes de las placas no esencialmente forma un dipolo, por lo que se ve desde lejos, los bordes de esta estructura de placas paralelas parecen una larga fila de dipolos apilados juntos. Microscópicamente, esto es casi exactamente lo que está pasando.

Fig. 2.8 (a) Las líneas de campo entre dos placas de carga opuesta, (b) una carga puntual por encima de un plano conductor a tierra, y (c) una carga puntual cerca de una esfera conductora. Las líneas de campo deben ser perpendicular a la superficie de un conductor en cada punto, y aumenta su densidad cerca de los puntos "afilados". Tenga en cuenta también que no hay líneas de campo dentro de la esfera, como el campo en el interior de un conductor debe ser cero.

La Figura 3.8 también muestra las líneas del campo debido a una carga puntual suspendido sobre una placa de conducción a tierra. En este caso, vemos de nuevo que las líneas de campo siempre cruzan la superficie conductora en ángulo recto.

2.6 Jaula de Faraday 

Una "jaula de Faraday" es una región cerrada formada por material conductor - esencialmente un espacio conductor hueco-. Dado que el campo eléctrico en el interior de un conductor es cero, algo encerrado dentro de un conductor hueco estará completamente protegido de cualquier campo. La  eléctrica estática, Usted puede ver su efecto en  Jaulas de Faraday a su alrededor, si se fija bien - conductos eléctricos dentro de las paredes son cajas de metal, el interior de su teléfono celular está rodeado de lámina metálica, y su equipo de computo se esconde dentro de una caja de metal. Todo ello para blindar campos eléctricos exteriores y evitar que alguno del interior contamine el espacio con ruido eléctrico.  

Jaulas de Faraday, denominadas así por Michael Faraday, que construyó una en 1836 y explicó su funcionamiento. Las cargas encerradas por la cargas se repelen entre sí, y siempre residen en la superficie exterior de la jaula. Cualquier campo eléctrico externo hará que las cargas en la superficie se reorganicen hasta que se anulan por completo los efectos de campo en el interior de la jaula. No importa cuán grande sea el campo fuera de la jaula, el campo en el interior es exactamente cero, siempre y cuando no haya ninguna carga dentro de la caja. Parece increíble que las cargas en la superficie del conductor saben exactamente cómo organizarse a sí mismas para cancelar exactamente el campo externo, pero esto es realmente lo que sucede.

La aplicación más importante de jaulas de Faraday es ser empleadas en blindaje electromagnético. Un ejemplo es un cable coaxial blindado (por ejemplo, cables RCA para su equipo de música, o el cable coaxial para conectar su caja de cable o satélite), que tiene un escudo de malla de alambre que rodea a un conductor de núcleo interno. El blindaje de malla asegura que ninguna señal del cable del núcleo escape, y quizás más importante, evita que las señales espurias alcancen el núcleo.

Un ejemplo más sutil de una jaula de Faraday es, probablemente, el que está en su cocina. La puerta de un horno de microondas tiene una pantalla de malla metalica integrada en el cristal de la ventana, con pequeños agujeros en ella. Como vamos a descubrir, esto también es una jaula de Faraday, a pesar de que hay agujeros en la pantalla. ¿Por qué aún funciona, a pesar de que hay agujeros? ¿Cómo campos eléctricos se refieren a las microondas? En poco tiempo, usted lo sabrá en este curso.

2.7 El generador de Van de Graaff

En 1929 Robert J. van de Graaff (1901-1967), un nativo de Tuscaloosa, diseñó y construyó un generador electrostático que se ha utilizado ampliamente en la investigación de la física nuclear. El Dr. Van de Graaff puede ser considerado el inventor del primer acelerador de partículas que emite rayos intensos de energía controlable con precisión, y uno de los pioneros de la física de partículas. 

Los principios de su funcionamiento se pueden entender mediante las propiedades de los campos eléctricos y cargas. La Figura 2.9 muestra la construcción básica del dispositivo del Dr. Van de Graaff, y la Figura 2.10 muestra ilustraciones de patente original del Dr. Van de Graaff en el "Generador electrostático" de 1931. Una polea accionada por motor mueve una pasada correa con carga positiva y agujas metálicas en la posición A. Las cargas negativas son atraídas a las agujas de la cinta, que deja el lado izquierdo de la correa con una carga neta positiva. La cinta móvil transfiere estas cargas positivas hacia la cúpula conductora.

Las cargas positivas atraen electrones en la correa a medida que se mueve más allá de un segundo conjunto de agujas en el punto B, lo que aumenta el exceso de carga positiva en la cúpula. Debido a que el campo eléctrico en el interior de la cúpula metálica conductora es insignificante (sería exactamente cero si no hubiera agujeros en la cúpula), la carga positiva puede ser fácilmente aumentada. El resultado es que cantidades extremadamente grandes de carga positiva pueden ser depositadas en la cúpula.

Esta acumulación de carga no puede ocurrir de forma indefinida. Eventualmente, el campo eléctrico debido a las cargas se vuelve lo suficientemente grande como para ionizar el aire circundante, el aumento de la conductividad del aire. Cuando ioniza lo suficiente al aire, las cargas pueden fluir rápidamente fuera de la cúpula a través del aire - una "chispa" salta fuera de la cúpula al punto de tierra más cercano. Un ejemplo espectacular de esto se puede ver en la Figura 2.11.

Fig. 2.9 Diagrama del generador van de Graaff.

Fig. 2.10 Patente del generador van de Graaff (http://www.google.as/patents/US2847611 ) 

Fig. 2.11 The Van de Graaff Generator,1933 (http://libraries.mit.edu/archives/exhibits/van-de-graaff/ )

2.8 Ley de Gauss

La ley de Gauss es una técnica astuta basada en algunos teoremas básicos de cálculo vectorial, para calcular el campo eléctrico promedio sobre una superficie cerrada. ¿Qué entendemos por una superficie cerrada? Una superficie cerrada tiene un interior y un exterior, que es la que encierra un volumen y no tiene agujeros en ella. Una esfera y un cubo son ejemplos sencillos. Sí, debido a la simetría, el campo eléctrico es constante en todas partes en una superficie cerrada, el campo eléctrico exacto se puede encontrar en la mayoría de los casos, mucho más fácilmente que a través de la ley de Coulomb.

2.8.1 Flujo eléctrico 

¿Cómo utilizamos esta ley de Gauss? En primer lugar, necesitamos el concepto de flujo eléctrico, denotado por . El flujo eléctrico es una medida de la cantidad de los vectores de campo eléctrico que penetran en una superficie dada. Si los vectores de campo eléctrico son tangentes a la superficie en todos los puntos, si no penetran en absoluto y el flujo es cero. Básicamente, contamos el número de líneas de campo que penetran en la superficie por unidad de área - líneas que entran en el interior de la superficie son positivas, las que salen al exterior son negativas.

Una analogía de flujo eléctrico es el flujo de agua, que es solo el volumen de líquido que fluye a través de un área por segundo. El flujo eléctrico debido a un campo eléctrico constante en magnitud en la dirección a través de una superficie de área A es, donde es el ángulo que hace  con la superficie normal.

                 Ec. 2.5

Fig. 2.12 (a) las líneas de campo que representan un campo eléctrico uniforme E penetra en un plano de la zona A perpendicular al campo. El flujo eléctrico a través de esta área es igual a . (b) las líneas de campo que representa un campo eléctrico uniforme que penetra un área A que se encuentra en un ángulo q en el campo. Debido a que el número de líneas que pasan por la zona A’ es el mismo que el número a través de A, el flujo a través A’ está dada por.

Al igual que las fuerzas eléctricas y campos, el flujo también obedece el principio de superposición. Si tenemos un número de cargas dentro de una superficie cerrada, el flujo total a través de esa superficie es solo la suma de los flujos de cada carga individual.

Ahora, a qué se refiere en realidad la ley de Gauss; al flujo eléctrico a través de una superficie cerrada, a la carga eléctrica total contenida dentro de esa superficie. El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga contenida dentro de la superficie. 

               Ec. 2.6

Para ver cómo funciona esto, considere la carga puntual en la Figura 2.13a. La superficie más interna es solo una esfera, cuyo radio llamaremos r. La fuerza del campo eléctrico en todas partes en esta esfera es

              Ec. 2.7

Fig. 2.13 (a) Las superficies de diversas formas que rodean a una carga puntual q encerrada. El flujo eléctrico neto es el mismo a través de todas las superficies. (b) Si la carga puntual está fuera de la superficie, el flujo neto es cero a través de esa superficie ya que es el mismo número de líneas de campo que entra y el que sale. Si no hay carga encerrada por la superficie, no hay flujo neto.

Ahora con el poder de la ley de Gauss, si tomamos cualquier superficie arbitrariamente más complicada, siempre que rodee el punto de carga q y no tiene agujeros en ella, siempre vamos a obtener el mismo flujo. Lo que esto significa es que siempre elegimos superficies más convenientes, aquellas para las que el campo eléctrico es solo una constante en toda la superficie. Por conveniencia, definimos una nueva constante , conocida como la "permitividad del espacio libre:"

              Ec. 2.8

k es la constante de Coulomb de la Ecuación 2.2. Esto significa, por supuesto que podemos transformar todas nuestras otras ecuaciones en términos como la Ec. 2.1,  en lugar de k. A menudo se les verá de esta manera. Esto crea con la ley de Gauss una forma más sencilla:

En la ley de Gauss: el flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta dentro de la superficie, Q, dividido por :

Ec. 2.9

De manera que el flujo eléctrico se mide en coulombs. La carga total Q, es la suma de las cargas puntuales encerradas. 

No vamos a derivar la ley de Gauss aquí, sino simplemente afirmar un hecho.

2.8.2 Ley de Gauss como una Ley de Conservación

Fundamentalmente, la ley de Gauss es una manifestación del teorema de la divergencia (a.k.a. el teorema de Green o teorema de Gauss-Ostrogradsky). En esencia, se establece que la suma de todas las fuentes menos la suma de todos los sumideros; da el flujo neto de una región. La misma ley se aplica a los fluidos. Si en un conductor queremos saber cuánto fluido fluye fuera de una cierta región, entonces tenemos que sumar las fuentes dentro de la región y restar los sumideros. El teorema de la divergencia es básicamente una ley de conservación – El total volumétrico de todas las fuentes, menos los sumideros es igual al flujo a través de los límites de un volumen-.

En el caso de campos eléctricos, esto lo expresa la ley de Gauss (ecuación 2.9) - El flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada, debe referirse a una carga neta en el interior del volumen delimitado por esa superficie. La magnitud neta de los componentes del vector de campo eléctrico que apunta hacia afuera desde una superficie, debe ser igual a la magnitud neta de los componentes del vector apuntando hacia el interior, además de la cantidad de carga libre en el interior. Esta es una manifestación del hecho de que las líneas de campo eléctrico tienen que provenir de algún lugar – las cargas-.

La diferencia entre el flujo de las líneas de campo en una superficie y el flujo de salida de una superficie, es solo cuántas cargas se encuentran dentro de la superficie, que es todo lo que la ley de Gauss dice. Esto se debe fundamentalmente al hecho de que para todas las leyes con cuadrados inversos, como la ley de Coulomb o ley de gravitación de Newton, la intensidad del campo cae como, pero el área de una superficie aumenta envolvente como . Las dos dependencias se anulan, y nos quedamos con el resultado de que el flujo es solo en relación a la diferencia entre el número de fuentes y sumideros cerrados.

Aunque la ley de Gauss es muy potente, se utiliza por lo general en casos especialmente con simetría (esferas, cilindros, planos), donde es fácil trazar una superficie de campo eléctrico constante en torno a las cargas de interés (como una esfera alrededor de una carga puntual). Vamos a trabajar a través de algunos de estos ejemplos en la actualidad.

2.8.3 Ejemplo: El campo alrededor de una distribución esférica de carga

Podemos utilizar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico de cualquier distribución esféricamente simétrica de forma gratuita, y como un bono descubre un hecho importante. Una distribución esféricamente simétrica de carga solo significa que el número de cargas por unidad de volumen (la densidad de carga) depende solo del radio desde un punto central. Eso no quiere decir que la densidad no varía con el radio, solo que no varía con el ángulo. Un ejemplo de una distribución de este tipo se muestra en la Fig. 2.14a - en este caso, la densidad disminuye con el radio hasta una distancia R, más allá del cual es cero.

Fig. 2.14 (a) Una distribución de carga esféricamente simétrica. La densidad de carga depende solo de la distancia desde el punto central. (b) Dos superficies gaussianas para determinar el campo en un punto arbitrario exterior (P1) y en el interior (P2) la distribución.

¿Cuál es el campo eléctrico en un punto arbitrario P1 fuera de la distribución, o en algún punto P2 arbitraria en su interior (Fig. 3.14b)? ¿Tenemos que calcular el campo de cada fragmento de carga en la distribución y resumir todas juntas? No, este es el punto de la ley de Gauss - si usted tiene un problema con simetrías especiales, por lo general pueden ser explotados para salvarlo de un montón de trabajo matemático.

La distribución de carga es, por definición, esféricamente simétrica. Como te habrás dado cuenta, el campo eléctrico debe asumir la misma simetría que la distribución de carga. Eso significa que el campo eléctrico en este caso será esféricamente simétrico, y será dirigido radialmente desde el punto central. No a otra dirección en especial o único en este problema, solo en la dirección radial. Eso significa que si nos basamos en una superficie esférica de radio que rodea completamente la esfera, superficie 1 en la Fig. 3.14b, el campo eléctrico será constante en todas partes en esa superficie. Podemos calcular fácilmente el flujo a través de esta superficie, y por lo tanto el campo eléctrico:

Ec.  2.10

Ec.  2.11

Ec.  2.12

Lo que ahora vemos es que este es lo mismo que el campo de una carga puntual - el campo fuera de una distribución de carga esféricamente simétrica se comporta exactamente como si toda su carga se concentrara en el centro-. Esto es, de hecho, una propiedad particular de leyes , y usted debe recordar que este principio es cierto en el caso de distribuciones de masa gravitatoria de simetría esférica. La tierra atrae a otros cuerpos, como si su masa se concentra en un punto en el centro. Siempre y cuando se trate de la distribución de simetría esférica, no es ni siquiera una aproximación para hacer frente a cargas puntuales infinitesimales.

Una cosa a tener en cuenta: no se trata de algo así como el centro de masa. Un cubo perfecto no se comporta como si tuviera toda su masa concentrada en su centro. Todo esto realmente viene de la naturaleza de las fuerzas de y el teorema de la divergencia.

¿Qué tenemos en la superficie 2, radio R₂, dibujada dentro de la distribución de la carga? Del análisis anterior, lo único que importa es la cantidad de carga que está contenida dentro de la superficie. Todo fuera de la superficie aporta una contribución igual, pero en todas direcciones, y todo el asunto se cancela. Encontrar el campo en el punto P₂ es entonces solo una cuestión de averiguar la cantidad de carga que está dentro de la segunda superficie.

3.8.4 Ejemplo: El campo por encima de un conductor plano

Si podemos llegar a aplicar una superficie inteligente sobre la que se aplica la ley de Gauss, podemos resolver algunos problemas que de otra manera serían muy complejos. La Figura 2.15 muestra una gran placa plana ("infinito"), cuya superficie está cargada.

¿Cuál es el campo en la superficie de esta placa debido a las cargas? Sabemos que es uniforme y constante, pero eso es todo.

Fig. 2.15 (a) Un gran conductor plano cargado. La distribución de carga en la superficie, y por lo tanto del campo eléctrico, son uniformes. (b) Un cubo es nuestra superficie de la ley de Gauss. A lo largo de los lados del cubo, el flujo es cero, ya que las líneas de campo son paralelas - el flujo es distinto de cero solo a través de las tapas de los extremos-.

Puesto que es un conductor, la distribución de carga en la superficie, y por lo tanto del campo eléctrico, son uniformes. Dado que no queremos limitarnos a una placa de cualquier tamaño en particular, sino más bien, resolver un problema general, diremos que la placa tiene una cierta carga por unidad de superficie, definida como la carga total de la placa dividida por su área de superficie. De esa manera, más adelante puede encontrarse el campo acerca de cualquier plano.

¿Qué tipo de superficie debemos tomar para encontrar el flujo? Una simple caja es una buena opción, ya que resulta práctica debido a la simetría del problema. Tomaremos una caja con una parte superior e inferior, cuya área son A. La zona de los lados no son importantes, ya que resultan paralelas al flujo, pero podemos llamarlos B solo para estar completo el modelo.

¿Por qué deberíamos elegir una caja en este caso? Sabemos que el campo es perpendicular a la superficie de un conductor en todas partes, por lo que en este caso el campo va a ser puramente perpendicular a la placa. Por lo tanto, solo es importante que dibujemos una superficie gaussiana de tal manera que cada parte de la superficie es o bien perfectamente paralela o perfectamente perpendicular a la placa. Un cubo funcionaría perfectamente bien, debe quedar claro para el resto de la discusión.

A lo largo de la superficie que forman los lados de la caja, el flujo es cero, ya que las líneas del campo son paralelas a la misma en todas partes. En la tapa de cierre, el flujo es perfectamente normal. La tapa del extremo inferior está completamente dentro del conductor, por lo que al conocer el campo, ¡tiene que ser cero allí! Si llamamos a la magnitud del campo eléctrico por encima de la placa de E, podemos calcular fácilmente el flujo. Debido a que la placa se supone que es muy grande en extensión, el campo puede suponerse que es completamente uniforme siempre que las distancias encima de la placa que consideramos sean pequeñas en comparación con el tamaño de la placa.

La carga total encerrada por este cubo es solo el área de sección transversal de la placa delimitada por la caja, carga por unidad de área :

Ec. 2.14

Aplicando la ley de Gauss es ahora sencillo, solo tenemos que encontrar el flujo a través de la tapa de cierre:

Ec. 2.15

  Ec. 2.16

No hay problema, el campo eléctrico es de hecho constante, ya que tiene que ser independiente de la distancia de la placa. Esto tiene sentido, también, ya que la placa se supone que es muy, muy grande. Estrictamente, esto es cierto solo para una placa infinita, pero está muy cerca si consideramos que la distancia encima de la placa es muy pequeña en comparación con el tamaño de la placa. Por último, debe quedar claro ahora que no importa qué tipo de forma usamos para el análisis, con tal que tenga un extremo plano paralelo a la placa, y los lados perpendiculares a ella, como por ejemplo un cilindro.

2.8.5 Ejemplo: El campo interior y externo de un conductor hueco esférico

Fig. 2.16 (a) Una carga puntual Q₁ dentro de una cáscara esférica conductora delgada con radio interior R₁ y radio exterior R₂. La presencia de la carga puntual induce una carga igual pero opuesta sobre la superficie interior del conductor para satisfacer la ley de Gauss. (b) Tres superficies de Gauss para encontrar el campo.

Para cualquier superficie esférica dentro de la esfera, por ejemplo una esfera de radio como la superficie 1 en la Figura 2.16, solo la carga puntual está dentro del volumen encerrado por la esfera. Si centramos la esfera exactamente en el punto de carga, ya que el campo de una carga puntual es esféricamente simétrica, el campo es constante en todas partes en la superficie de la esfera. La ley de Gauss, entonces nos da:

Ec. 2.17

Ec. 2.18

Ahora solo tenemos que resolver para E, y hacer uso del hecho de que :

Por supuesto, esto tiene mucho sentido - el campo interior es el de la carga puntual, como si el conductor no estuviera allí en absoluto. Como vimos anteriormente, los campos eléctricos son como campos gravitacionales de esta manera - dentro de una cáscara esférica, tanto las fuerzas gravitacionales como las eléctricas se anulan en todas las direcciones por la simetría.

A continuación, consideramos la superficie 2, una superficie interior del propio conductor. Ya sabemos que en todas partes dentro del conductor, es decir, R1 < r <R2, que debe tener E = 0. Hecho esto parecería demasiado fácil, ¿no? nos perdimos un poco el punto. Al final, también queremos encontrar el campo fuera de la cáscara de todo este modelo, y para ello hay que tener en cuenta la superficie 1. Ahora tenemos que tener cuidado, y pensar en lo que hemos perdido de vista. Para la superficie 2, elaborada dentro del conductor, dijimos E = 0, ya que tiene que ser para un conductor. Esto es cierto. Pero, ¿cómo puede ser eso, con una carga puntual justo dentro? En realidad, no puede: lo que pasa es que la carga puntual  Q1 induce una igual pero, opuesta carga Q2 = -Q1 en la superficie interior del conductor. Piénselo de esta manera - si esto no sucediera-, entonces la carga total encerrada por la superficie 2 no sería cero, y por la ley de Gauss del campo dentro del conductor no podría ser cero. La carga inducida Q2 asegura que la carga total encerrada por la superficie 2 es igual a cero, y por lo tanto, el campo en el interior del conductor es cero ya que tiene que ser así. Entonces tendríamos una contradicción en nuestras manos, que no es aceptada. Esto también es otro aspecto de conductores a la vista como espejos para las líneas de campo. Físicamente, la carga Q1 atrae cargas móviles opuestas en el conductor, dando una carga negativa neta en la superficie interna.

Ahora, ¿qué pasa con la superficie 3? Antes colocamos la carga Q1 dentro del conductor, que era eléctricamente neutro. Esto todavía tiene que ser verdad después de colocar la carga, en general, el conductor no debe tener carga neta. Pues bien, si hay una carga Q2 = -Q1 en la superficie interna, y en general, es neutra, entonces debe haber una carga Q1= Q3 inducida en la superficie exterior para cancelar la carga inducida en la superficie interna. La carga negativa neta en la superficie interior atraída por la carga puntual Q1 deja un déficit de carga negativa en la superficie exterior, para una carga neta superficial positiva. Ahora podemos ejecutar la ley de Gauss para la superficie 3:

Ec. 2.20

Ec. 2.21

Ec. 2.22

Ec. 2.23

Pero el campo fuera de la esfera se ve igual que el de la carga puntual original, mismo que dentro de la esfera. Una vez más, lo que sucede es físicamente que la carga puntual tira de las cargas móviles desde el conductor a su superficie interior, dejando la superficie interior con una carga igual y opuesta. Esto significa que la superficie exterior deberá ser igual al efecto, por lo tanto, de una carga igual que Q1.

Ahora podemos combinar nuestros resultados, y tenemos el campo eléctrico en las tres regiones:

Ec. 2.24

Ec. 2.25

Ec. 2.26

2.8.6 Ejemplo: El campo debido a una línea de carga

Como en el último ejemplo, vamos a utilizar la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico debido a una línea infinita de carga, o equivalentemente, un hilo conductor con una carga superficial neta, como se muestra en la Fig. 2.17a. ¿Qué significa el campo eléctrico que aparece? Si la línea de carga es infinita (o al menos muy larga comparada con la distancia a que nos encontramos de ella), todos los componentes transversales del campo se anulan entre sí, por la simetría, el campo debe ser radialmente simétrico sobre el alambre. Es decir, el campo debe apuntar perpendicularmente lejos del eje del alambre.

Fig. 2.17 (a) Una carga de línea "infinita", con cargas por unidad de longitud. (b) Una superficie gaussiana cilíndrica. En las tapas del cilindro, el campo es paralelo, y el flujo es cero.

Con la simetría del alambre, tiene más sentido utilizar un cilindro dibujado concéntricamente alrededor del alambre como nuestra superficie gaussiana, Fig. 2.17b. Elegiremos un cilindro de radio r, y la longitud l. El campo es paralelo a las tapas de los extremos del cilindro, por lo que no contribuyen con el flujo en absoluto.  Al ser radialmente simétrico, el campo es perfectamente perpendicular a la superficie redonda del cilindro, y se puede calcular fácilmente el flujo y encontrar el campo eléctrico. En primer lugar, se recuerda que el área de superficie de un cilindro (sin las tapas de los extremos) es . En segundo lugar, el cilindro de longitud l encierra una longitud l del cable, que debe contener cargas  desde la carga por unidad de longitud. 

Ec. 2.27

Ec. 2.28

En este caso, el campo se desprende de 1/r, mucho menor que una carga puntual, pero no independiente de la distancia que hemos encontrado para la lámina de carga. Es independiente de la longitud del cilindro que elegimos, como debe ser: el cable se supone que es infinito, y el valor de l se eligió arbitrariamente.

[1] Audrey T. Carpenter (2011) John Theophilus Desaguliers: A Natural Philosopher, Engineer and Freemason in Newtonian England. London: Bloomsbury

[2] Keithley Joseph F. (1999) The story of electrical and magnetic measurements. New York: IEEE Press E-book