Pensamiento Matemático
Pensamiento matemático: proceptual-simbólico
Autores
Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Filo Enrique Borjas García
Rogelio Ochoa Barragán
Portada
Eduardo Ochoa Hernández; Nicolás Zamudio Hernández; Filho Enrique Borjas García; Rogelio Ochoa Barragán; (2017) Pensamiento matemático: elemental. Morelia: CIE/UMSNH
ISBN: 978-607-8416-13-4
Contenido
Idea eje: el pensamiento matemático
La educación técnica
La búsqueda de autonomía en el aprendizaje
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Lección 1 Pensamiento matemático
Lección 2 Matemáticas
Lección 3 Matemática elemental
Lección 4 Lógica
Lección 5 Poincaré es la visión alternativa al formalismo de Hilbert
Lección 6 Objetos matemáticos y sus razones
Lección 7 Nuestra herencia en el sol
Lección 8 Conceptos precursores a la derivada
Lección 9 Punto en el cálculo infinitesimal
Lección 10 Álgebra
Lección 11 Orden de operadores
Lección 12 Patrones y ecuaciones
Lección 13 Ecuaciones y desigualdades
Lección 14 Funciones como relaciones y tablas
Lección 15 Funciones y gráficas
Lección 16 Ruta de resolución de problemas
Lección 17 Aritmética
Lección 18 Algebra arábiga
Lección 19 Estadística
Prólogo
¿Cuántos años tienes? Desde muy niños la respuesta a esta interrogación es nuestra responsabilidad. De he hecho responder a nuestro peso, años de escolaridad, estatura, distancia de nuestro hogar a la escuela, cantidad de hermanos, la hora de algún evento en el tiempo, son filtradas por números. Nuestra experiencia en el día a día, puede ser indicada solo si se sabe la noción de número. Nuestra biología nos dotó de los axiomas, que la cultura humana requiere en probabilidad para tomar estimaciones en nuestras decisiones; representar cantidades materiales; ubicarnos en un espacio geométrico; procesar inteligentemente con la lógica razones necesarias para ponernos de acuerdo. Sin embargo, este notable pensamiento matemático es un desarrollo multicultural, un edificio de conocimientos cuyos cimientos para crear nuevos objetos matemáticos pasa por una arquitectura basada a partir de axiomas y seguida por una construcción hipotético deductiva que, además, requiere ser demostrada sin contradicción en sus piezas.
Los números y otras representaciones simbólicas de nociones axiomáticas del pensamiento matemático, en este mundo que aspira a mayor justicia social y reducir la desigualdad de escándalo, no es posible cumplir esta aspiración, con ausencia de esta habilidad mental. En sociedades que casi son anuméricas en la precisión verbal, técnica y simbólica para trasformar radicalmente las condiciones humanas para el progreso ético común; la investigación científica argumenta que es un imposible de un modo, descuidado en la educación que no convence formar el pensamiento matemático elemental.
La matemática elemental, es un concepto que evoluciona e incorpora más y más pensamiento matemático conforme la sociedad se hace más compleja y convive con mayores incertidumbres en sus condiciones de éxito. En este libro, se exploran las condiciones en la relación docente-estudiante que más favorece el desarrollo del pensamiento matemático. Se delimita el espacio de contenido de la matemática elemental y se hace énfasis en el rol de la habilidad técnica necesaria para nuestro tiempo. Destacamos que la soberanía técnica de nuestra sociedad depende del pensamiento matemático aplicado a soluciones de problemas de corte tecnológico.
Para mayor claridad terminológica, se genera un discurso que se estima será acompañado por el docente para discutir y precisar el lenguaje formal de las matemáticas. La pedagogía que se asume es proceptual-símbolica antes que axiomática-formal.
A pesar de lo que una vez pensamos por error, ahora la ciencia del pensamiento matemático y la biología del cerebro, nos hacen ver que los números son junto a otros conceptos elementales, algo que viene a las personas como abstracciones naturales y de una forma nativa cultural heredamos los miedos, vértigos y malas justificaciones para decirnos ser malos para las matemáticas. Reconocemos en los Mayas, Purépechas y las culturas prehispánicas una herencia de orgullo en su conocimiento de la geometría representada en su arquitectura exquisita y en sus calendarios precisos para el registro de eventos astronómicos y la planeación de su agricultura que domesticó al maíz.
¿El arquitecto del universo fue un matemático?
El pensamiento abstracto es similar al cómo se conciben los objetos matemáticos. Los objetos matemáticos es lo que “es acción” dentro del universo matemático, por ejemplo, el concepto de número está íntimamente ligado a las operaciones aritméticas de adición y multiplicación. Las palabras encapsulan ideas, es decir, su semántica, del mismo modo, los símbolos matemáticos encapsulan proceptuales o ideas abstractas sobre el objeto matemático asociado. El significado de una oración es su propio método de verificación gramatical. Entonces, el objeto matemático más elemental es la base axiomática de las nociones de cantidad, probabilidad, espacio geométrico y la lógica. Pero son los números naturales 1,2,3,4,5,6,7,8,9 los más básicos objetos matemáticos, pero ellos no nos parecen un pensamiento abstracto, debido a que ellos fácilmente los relacionamos con cantidades presentes en el mundo material que nos rodea. Sin embargo, cuando la cuenta se hace más larga y nos exigimos de números más grandes, parece que esta pureza natural se desvanece. Tal vez al instante piense que los números no necesariamente son cosas materiales y sus propiedades relacionadas. Un sistema de numeración no solo es una colección de números, sino una colección de números junto con las reglas para hacer cálculos aritméticos. Si pensamos en las reglas en lugar de los números mismos, los números son las piezas de un juego, es decir, las piezas de ajedrez son a las reglas de ajedrez, como los números son a las reglas de la aritmética. Estas reglas son las leyes conmutativa, asociativa, distributiva, elemento neutro, inverso simétrico.
¿Qué son las matemáticas y que representa en la naturaleza? Las Matemáticas son un lenguaje artificial con sintaxis y semántica; son intuitivas en principio (axiomáticas) y formales en su evolución (demostraciones), al igual que la música son universales y solo traducibles en ella misma. Además, las matemáticas son las estructuras de información (ecuaciones fundamentales) que justifican las exigencias que justifican tal cómo es nuestro universo físico; las matemáticas son la herramienta básica sustantiva del arte de la técnica (ingeniería).
El presente texto, es diseñado como un libro que se trabaja en comunión entre estudiante y docente, como una forma de acercamiento al pensamiento matemático elemental. Las matemáticas están paradas sobre sus propios objetos, no necesitan nada más para justificar su desarrollo. Existen matemáticas en la mente (internalismo) e independiente de las personas, al parecer están en la propia realidad del mundo físico (externalismo).
Para los estudiantes, la manera de hacerse del pensamiento matemático, es descubriendo en la ruta de axiomas a los objetos matemáticos superiores, mediante la fuerza de la lógica y los argumentos conceptuales de los objetos y sus símbolos matemáticos. Los axiomas relacionados con la noción de cantidad, espacio geométrico y probabilidad, muestran el punto de partida del camino de aprendizaje. Axioma etimológicamente, palabra griega, significa “pensar correctamente”. Los axiomas son simples y obvios, están en nuestra biología humana y en el mundo que nos rodea. Todo el universo está hecho de números (dogma pitagórico). Roger Penrose resume que la actividad científica es descubrir las estructuras de información (ecuaciones) que gobiernan todo el universo. El propio caos presente en la naturaleza, en el fondo de este hay orden del que se derivan falsas apariencias que nos engañan, hasta que las matemáticas con el poder de la lógica nos muestran una interpretación distinta a lo que nuestros instintos sensoriales nos hacen creer. Aristóteles afirmaba que las matemáticas no existen como una entidad independiente, son simples resultados creados y que comenzaron desde los axiomas. Las matemáticas se crean y no se descubren a partir de este enfoque. Aristóteles utilizó la apalabra techne, para referirse a la creación de las matemáticas, hoy origen del concepto tecnología o técnica. Aristoteles cuando se refiere a descubrir los axiomas, esta forma la llama espisteme, como base para el sentido común que describe el funcionamiento del mundo. Hoy en día a esta manera de pensar de Aristóteles se le conoce como formalismo. Para los griegos, su actitud matemática en la sociedad la reconocieron como un camino hacia adelante, usando el poder de la lógica como forma de gestión superior a las apariencias.
La técnica moderna es un arte matemático que exige experimentos que corroboren la teoría con la práctica. Muchos apoyan la idea de Roger Penrose, convencidos que hay una arquitectura en el diseño del universo, las matemáticas se descubren en él. Otros prefieren seguir pensando como Platón y Aristóteles sobre la esencia de las matemáticas como un oficio de creación. Pero fue Newton quien desarrolló las matemáticas modernas para describir la naturaleza, y revelar al arquitecto del universo. Para la educación de las matemáticas es preciso tomar en cuenta las dos posturas, verlas como creación y verlas como parte de la arquitectura de la realidad física.
Ahora mismo, los estudiantes de matemáticas elementales, al desarrollar a lo largo de este libro sus pensamientos, con ayuda del docente, aprenderán a confiar en la verdad matemática, porque de ello dependerá en mucho su destino como ingeniero (técnico) o científico. De no lograr esto, habrá poca esperanza de que los estudiantes cuajen en el poder matemático para crear teorías científicas y tecnológicas. Si las matemáticas son incuestionables sobre la verdad que expresan en sus demostraciones, esto las hace ideales para empresas tecnológicas y científicas. Pitágoras introduce la palabra demostración, con ello, geometría y aritmética de números crean la álgebra, era en ese momento una demostración de una verdad que afirma incuestionablemente algo. Aquí nace un lenguaje hecho de argumentos impecables, es decir, sin contradicción alguna en su lógica. El punto de partida del pensamiento matemático más auténtico es el axioma. Esto no está afuera de nosotros, los axiomas nos son heredados biológicamente, y nos es innato su revelación. Pretendemos que el estudiante se forme en su mente un entrenamiento de “sano juicio”, es decir, con el poder de objetividad a partir de confiar en la verdad matemática.
Este libro es inspirado en dar un paso solido para que en el aula docente-estudiante realicen juntos el pensamiento matemático, como algo que hay que aprender a pensar y a explicarlo, rasgo de la mejor educación de calidad. Kirsti Lonka, profesora de psicología educativa en la Universidad de Helsinki y Anneli Rautiainen de la Agencia Nacional para la Educación de Finlandia refieren que para lograr el cambio al contexto de la calidad educativa, es fundamental a partir de estos dos fundamentos[1]:
1) “En la vida real nuestro cerebro no está dividido en disciplinas o materias escolares; pensamos de manera muy holística”. Es decir, la realidad compleja, caótica y de alta incertidumbre como la sociedad de hoy, se comporta muy distinta a la suma de las partes[2]: modelo holístico. En este sentido, el desempeño académico evaluado por PISA intenta alcanzar estándares holísticos, pero, muchos de los sistemas educativos están en el error de ver a las materias o módulos curriculares, como si fueran partes del todo necesario para el éxito de la calidad educativa. Unos dicen que el pensamiento matemático debe ser confinado a las materias de matemáticas, así como la lectura y la escritura solo a las materias de español. Es obvio que este error es fundamental para dar cuenta del bajo desempeño de México en términos de calidad educativa.
2) “Es un gran error hacerle creer a los niños que el mundo es sencillo (no complejo) y que si aprenden cierta información los estarán dejando listos para encararlo”. La alternativa más consolidada, es la escritura creativa, es el medio valuarte de un paradigma de aprendizaje no basado en resultados, sino en las capacidades de pensar y entender en el marco de ganar soberanía intelectual[3]. La gestión humanista es el nuevo paradigma económico, donde la dignidad es resultado de integrar prescripciones morales a la economía y la búsqueda de soberanía intelectual de los ciudadanos para un progreso ético[4], las matemáticas son el indicador por excelencia de esta soberanía intelectual.
Los profesores requieren para la enseñanza moderna de las matemáticas un texto más amplio y en particular apoyado por asistentes virtuales Web. Para satisfacer está necesidad, hemos construido una ruta de lecciones para discusión conjunta entre docente-estudiante, apoyados preferentemente por tecnología intuitiva como la Wolfram Alpha. Mientras las aulas de las naciones con mejor desempeño académico de la OCDE cuentan con recursos tecnológicos y de contenido para la enseñanza del pensamiento matemático, aquí en México nos damos cuenta que la tecnología de cómputo y telecomunicaciones no está equipada de una propuesta pedagógica, de modo que la hagamos útil para el aprendizaje, integrando materiales originales, concretos y prácticos para el empleo de la tecnología como exploradora de las matemáticas. Nuestro objetivo es tejer una secuencia de aprendizajes y adoptar el cambio tecnológico en apoyo a las matemáticas. Este texto es un esfuerzo por apoyar una didáctica basada en el aprendizaje de pensar y explicar. No pretendemos enseñar todo sobre la enseñanza de la matemática elemental, el enfoque para el bachillerato tecnológico es basado en reconocer la importancia de este tipo de pensamiento para la aplicación práctica, al mismo tiempo que se reconozca en discusiones sistémicas entre docente-estudiante, un lenguaje propio de la naturaleza de los objetos matemáticos. El objetivo es un imperativo moral, pretendemos que los estudiantes discutan sobre el pensamiento matemático y empleen tecnologías que mejoren su aprendizaje.
Este texto está en el marco internacional de las matemáticas elementales, apoyado en referencias documentales que prueban que en ningún momento son aspectos de competencia universitaria. Hemos preferido emplear un lenguaje formal, invitando a docente y estudiante a investigar juntos cada palabra o símbolo presentes en la discusión temática que conviertan en un desafío su semántica. Se hace énfasis en pensar antes que dominar reglas mecánicas para resolver ejercicios. Este texto en particular apoya al docente para un cambio de paradigma, el centrado en el pensamiento matemático. Los estudiantes reconocerán en este texto una forma muy distinta de mirar a los números, el álgebra, la estadística, y al apoyarse en materiales y laboratorios virtuales en línea, podrán ir más lejos en sus habilidades intelectuales autónomas.
En la dimensión tecnológica, el conocimiento es hacer de las diferentes aplicaciones un cambio muy rápido en el paradigma educativo. Una persona con buen conocimiento tecnológico es capaz:
Aplica ampliamente en su vida cotidiana las herramientas tecnológicas, y en el trabajo, reconoce cuando podrá ser útil para ayudar en logro de metas para adaptarse continuamente a los cambios en las nuevas formas de comunicar, calcular, investigar, justificar, demostrar, …
Posee conocimiento del contenido, sabe sobre el tema enseñado o aprendido, incluye el conocimiento de conceptos, teorías, ideas, evidencias, logros clave en la historia, demostraciones, construcciones de objetos abstractos. El delimitar que conocimiento es de matemáticas elementales, paso por la premisa de aquel necesario para que un ciudadano sea soberano para desenvolverse dignamente en la vida moderna. La American Council on Education (ACE), nos dice que para una buena enseñanza de matemáticas en jóvenes de bachillerato[5], es preciso cruzar un poco, asomar la curiosidad al terreno universitario. En estudios científicos se ha corroborado que docentes que discuten las matemáticas, forman la base proceptual necesaria para que los estudiantes se hagan del lenguaje y las formas del pensamiento matemático[6].
Para la pedagogía del cómo formar el pensamiento matemático, hemos asumido lecciones sobre discusiones, métodos y procesos basados en la interacción docente-estudiante mediada por un texto. El contenido de este libro desafía el entendimiento clásico de ejercicios y más ejercicios, en particular se plantean los problemas a que se enfrentaron los matemáticos desde la antigüedad, para desarrollar la matemática elemental, la importancia de ciertos avances y el conocimiento hecho de un lenguaje riguroso e intuitivo, para reconocer las conexiones de los diferentes objetos matemáticos con su base axiomática.
Los jóvenes bachiller antes de llegar a la escuela, en sus mentes hay la idea de número, espacio, probabilidad,…, el docente deberá indagar sobre estas ideas, justo antes de comenzar a leer cada lección. Por ejemplo los conceptos de número y operaciones numéricas pueden ser entendidos a través de su red de conexiones cognitivas entre experiencias, símbolos, lenguaje e imágenes. Esto ayudará a los estudiantes a construir su propio pensamiento, encadenando proceptuales e inferencias en la rica arquitectura de los objetos matemáticos. Asimilar nuevas ideas, requiere partir de las que están en la mente del estudiante, para dar cabida a nuevas experiencias[7]. El pensamiento matemático es reconocido por investigadores como parte esencial de la construcción de la persona, entre más significados matemáticos, su desempeño social lo conduce a una comprensión más objetiva y a participar más rigurosamente de los problemas que exigen mayor desarrollo matemático en ellos[8].
Los que prefieren los ejercicios matemáticos como forma de aprendizaje del pensamiento matemático, podrían argumentar que contar y entender el número está en el corazón del pensamiento matemático, y por ello es probable que en la escuela se realicen sesiones de prácticas para ello. También es importante reconocer que esta manera deja fuera el poder reconocer la naturaleza del pensamiento matemático, es decir, su fondo de experiencia humana, incluyendo la habilidad de ser capaz de clasificar, categorizar y distinguir las propiedades de los objetos matemáticos: su abstracción[9]; al provocar una idea mecánica de las matemáticas, el estudiante por lo común, jámas describe ningún marco conceptual para los objetos matemáticos.
Un marco conceptual, es un mapa de las conexiones y trayectorias de las relaciones entre los objetos matemáticos. Este marco describe las maneras de pensar a un objeto matemático. El aprendizaje por discusión entre docente y estudiante, proporciona el entendimiento para explicar la no contradicción del pensamiento matemático, y justificar la necesidad de avanzar en estas áreas del aprendizaje abstracto. Por lo tanto, las lecciones son un camino o un mapa para el seguimiento individual y grupal de las discusiones. Discutir es la actividad racional de aportar ideas socializando para su socializado, donde el fin es alcanzar mayores virtudes en el pensamiento de los participantes. Esta forma de producir experiencia sobre el pensamiento matemático es muy empleada desde la primaria en sociedades desarrolladas[10].
Referencias
[1] Penny (2017) ¿Como le está yendo a Finlandia con el “phenomenon learning”, el nuevo modelo de enseñanza del mejor sistema educativo del mundo?. BBC Recuperado de : http://www.bbc.com/mundo/noticias-internacional-40108708
[2] Mitchell, M. (2011). Complexity: A Guided Tour (1 ed.). Oxford University Press.
[3] Havnes Anton (2016) Why use learning outcomes in higher education? Exploring the grounds for academic resistance and reclaiming the value of unexpected learning. Educational Assessment, Evaluation and Accountability, 28(3):205-223.
[4] Dierksmeier, Claus (2016) What is ‘Humanistic’ About Humanistic Management?. Humanistic Management Journal, 1(1):9-32. Recuperado de: https://link.springer.com/article/10.1007/s41463-016-0002-6?wt_mc=Other.Other.2.CON417ctw_2017_a56
[5] American Council on Education (ACE). URL: http://www.acenet.edu/Pages/default.aspx
[6] Rowland, T.; Turner, F.; Thwaites, A. & Huckstep, P. (2010) Developing primary methematics teaching. London:Sage.
[7] VON GLASERSFELD E. 1995. Radical Constructivism: A Way of Knowing and Learning. Studies in Mathematics Education Series: 6. ERIC.
[8] SIMON M.A. 1995. Reconstructing mathematics pedagogy from a constructivist perspective. Journal for research in mathematics education 114-145.
[9] COTTON T. 2016. Understanding and teaching primary mathematics. Routledge.
[10] NSW Department of Education https://education.nsw.gov.au/curriculum/mathematics