Texto universitario

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Módulo 1. Geometría   

1.1 Pitágoras 

La fundación de la geometría y del llamado método axiomático se inicia con la obra de Elementos de Euclides. La obra más conocida de la historia, solo después de la Biblia. Euclides un gran compilador de piezas de conocimiento del espacio geométrico, muy familiarizado con la tradición matemática griega y en especial con su primera crisis: la de los números irracionales dentro del triángulo de Pitágoras. Sin duda la geometría ingresa con fuerza en las matemáticas con el teorema de Pitágoras. Este teorema afirma que el cuadrado debajo de la hipotenusa c de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. 

Con el teorema de Pitágoras se descubrieron pequeños números enteros que no solo describían la longitud de los lados de un triángulo rectángulo, sino que además tenían la propiedad de que si se sumaban las áreas de los cuadrados dibujados sobre cada lado más pequeño, éstas igualaban al área del cuadrado dibujado sobre el lado más largo (Hipotenusa). Los griegos refieren al Teorema de Pitágoras o demostración de Pitágoras en términos de objetos geométricos y no numéricos.

Se dieron cuentas que en un cuadrado de tamaño unidad, geométricamente la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado es igual a la unidad es:

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pitágoras

Se dieron cuenta los pitagóricos que la raíz de 2 no puede ser expresada como cociente de dos números enteros. Así fueron descubiertos los números irracionales. Se tendrían que esperar dos mil años hasta Kronecker y sus números complejos. Esta crisis pitagórica sirvió para darse cuenta que la estructura del cosmos necesitaba algo más que aritmética, y el resultado fue la geometría.

El teorema es apenas obvio, la prueba se muestra arriba en la figura, los cuadrados perfectos formados en completo a los cuadros por a y b. La respuesta a los axiomas de Euclides en su libro Elementos, se consolida con el teorema de Pitágoras. Este enfoque, hace unos 100 años, los matemáticos consideraron que el rigor y la universalidad del sistema de axiomas Euclidiano no completa algunos huecos vacíos de la geometría. El requerir una gran cantidad de nuevos axiomas adicionales y el hecho que hay otras geometrías al modificar el sistema de axiomas, se abrió un mundo de posibilidades en la geometría. 

Nos parece que el enfoque axiomático debe ser abandonado en la geometría y este debe basarse en el enfoque algebraico iniciado por Descartes en el siglo XVII. En geometría algebraica, los puntos en el plano se dan por pares ordenados (x,y) de números y líneas curvas son expresadas por ecuaciones polinómicas en x y y. En el punto (x,y) se encuentra la distancia horizontal x y la vertical y desde el origen 0. Nosotros definimos la distancia como:

motivado por el teorema de Pitágoras.

Un círculo de radio unidad, que consiste en los puntos a distancia de 1 hasta 0. Tiene la ecuación:

Más generalmente, el círculo con centro en (a,b) y radio r tiene la ecuación

El problema con este enfoque algebraico es que va demasiado lejos, no hay ninguna restricción natural en las ecuaciones que precise los conceptos geométricos de Euclides. Si nos detenemos en estas ecuaciones lineales obtenemos solamente líneas; si lo hacemos para las cuadráticas obtenemos todas las cónicas, hipérbolas, elipses y parábolas. Mientras que con Euclides solo círculos. Sin embargo, hay un concepto algebraico diferente que surge, y que refiere a un lugar en el espacio geométrico: el concepto de vector, y nuevos productos tales como el producto interno y el producto cruz. Si bien no da la generalidad del espacio vectorial, en su lugar describe el espacio vectorial que es conveniente para la geometría plana euclidiana. 

Se nos permite agregar una nueva regla:

Y para multiplicar a un par por cualquier número real c utilizamos la regla de:

Estas operaciones tienen interpretación geométrica natural: adición a cada , significa trasladar el plano; es decir, cambiando todos sus puntos a través de la distancia horizontal a y distancia b vertical.  Multiplicando cada por el factor c, aumenta el plano entero por el factor c. Como veremos este ajuste simple prueba algunos teoremas geométricos interesantes. Pero para capturar todos los de la geometría de Euclides tenemos un ingrediente adicional: el producto interno, llamado también producto punto, definido por 

Note que:

Donde denota la distancia de (x,y) desde el origen O. Por lo tanto, el producto interno puede ser definido como la distancia de acuerdo con el teorema de Pitágoras. Una vez que tenemos el concepto de distancia, también podemos obtener el concepto de ángulo, porque resulta que 

Donde es el ángulo entre 

Como se muestra enseguida:

Las principales ventajas de utilizar el concepto de un espacio vectorial con el producto interno, en lugar de los axiomas de Euclides, son la familiaridad y universalidad. Las reglas para calcular los vectores son similares al álgebra tradicional; también, el producto interno y los espacios vectoriales ocurren en muchas partes de las matemáticas, por lo que vale la pena aprenderla como herramienta de uso general. En resumen, hay otras geometrías distintas a la Euclidiana, por ejemplo la hiperbólica en la que el postulado de las rectas paralelas de Euclides es falso, los ángulos de un triángulo no suman Pi y para una figura de un tamaño dado, no existe otra semejante de tamaño mayor. 

La certeza Euclidiana para Kant, la refiere como una verdad indudable de naturaleza axiomática. Pero el postulado de las paralelas, con la revolución de Einstein, es sacado del cosmos, no es para nada cierto en nuestro cosmos, en nuestros universo espacio-tiempo en que vivimos es curvo y por tanto las paralelas se unen en el infinito. La geometría de Euclides es solo una aproximación intuitiva. El cosmos de los griegos era pensado en términos de un universo cerrado, sin líneas que se extienden hasta el infinito. Para salir de crisis de los irracionales, Thales sugirió con un enorme esfuerzo que la base de las matemáticas fuera en la geometría. Ahora sabemos que el teorema de Pitágoras es falso para las geometrías no Euclidianas. Esta crisis de la raíz cuadra de 2 condujo al argumento reduction ad absurdum, camino que conduce a demostrar una contradicción. 

Para casi todo mundo se refiere a la Aritmética como el dominio humilde de la adición, sustracción, multiplicación y división de números enteros y fracciones. Se comienza con la noción de números naturales en la primaria y se concluye con el entrenamiento de la misma en dispositivos electrónicos (calculadora). Pero desde Euclides se ha cultivado la teoría de los números, resolución de ecuaciones con enteros, el algoritmo de la división (cómo encontrar el máximo común divisor de dos números enteros positivos) y factorizar en números primos, como parte de la aritmética. 

Esta álgebra de números (aritmética) nace con la búsqueda de soluciones enteras positivas a ecuaciones como estas:

Sorprendentemente ayudan a introducir números de la forma:

Donde a, b son enteros ordinarios, y se pretende que estos nuevos números se comporten como enteros ordinarios. La prevención es realmente justificable, dado que nos permite desarrollar y explorar la teoría de los números primos.

Para esta fracción 2727931/2336107, ¿cómo saber si está en su forma reducida? Es decir, que ningún divisor común al numerador y al denominador existe. Para responder esta pregunta, tenemos que encontrar el máximo común divisor  de 2727931 y 2336107, que parece difícil. Incluso encontrar los divisores de 2727931 parece difícil, y de hecho no hay ningún buen método para números muy grandes. Es destacable, que puede ser más difícil encontrar los divisores comunes de dos números, que encontrar los divisores de cada uno de ellos. Por ejemplo, independientemente sabemos que el máximo común divisor de 30000033 y 30000032 es 1, sin saber los divisores de cualquiera de estos números. ¿Por qué? Pues bien, si d es un divisor común de 30000033  y  30000032 tenemos 

30000032=dp

30000033=dq

Donde p y q son enteros positivos. Y por lo tanto

30000033- 30000032= d(q - p)

Donde también divide a la diferencia de 30000032 y 30000033, que es 1. Pero el entero positivo solo se divide sobre 1, entonces d=1. Más generalmente, si d es un divisor común de dos números a y b, entonces d también divide a - b. En particular el máximo común divisor de a y b es un divisor de  a - b. 

Este simple hecho es la base de un algoritmo eficiente para encontrar el máximo común divisor. Se llama algoritmo euclidiano, escrito por Euclides en su libro Elementos hace más de 2000 años. Formalmente uno calcula una secuencia de pares de números de la siguiente manera. Comenzando con un determinado par a, b; donde a>b, cada nuevo par consiste en el miembro más pequeño de la pareja anterior y la diferencia de la anterior pareja. El algoritmo termina cuando un par de números son iguales o cuando la menor diferencia comienza de nuevo a crecer, cada uno de ellos es el máximo común divisor de a y b. Por ejemplo si fuera a=76 y b=64

gcd(76,64)=gcd(64,12)=gcd(52,12)=gcd(40,12)=gcd(28,12)=gcd(16,12)=

gcd(12,4)=4

La principal razón por la que el algoritmo euclidiano funciona es porque el máximo común divisor de a y b también es divisor de a - b. Si se denota como gcd, entonces gcd(a,b)=MCD(b, a-b) para a=13 y b=8:

gcd(13,8)=gcd(8,5)=gcd(5,3)=gcd(3,2)=gcd(2,1)=gcd(1,1)=1

Tome en cuenta que, cuando empezamos con  números de Fibonacci consecutivos 13 y 8, la resta son todos los anteriores números de Fibonacci, terminan inevitablemente en el número 1. Es el mismo con cualquier par de números consecutivos de Fibonacci, por lo que MCD de cualquier par de estos es 1. Por ejemplo a=2584 y b=1597

Otra razón importante, es que el algoritmo produce continuamente números más pequeños y por lo tanto, termina con números iguales porque enteros positivos no pueden disminuir para siempre. Este principio asegura que no encontraremos ninguna pendiente de descenso infinita, es obvio, sin embargo, es prueba por inducción y base de la teoría de números.

1.2 Propiedad de la división 

Para cualquier número natural a y b diferentes de cero, son números naturales q y r (cociente y resto) tal que 

donde

La ventaja de la división con el resto es que es al menos generalmente mucho más rápido, que restas repetidas. Es lo suficientemente más rápido para encontrar el MCD de números con miles de dígitos. Por ejemplo a=93164 y b=5826:

Paso 1: 93164 dividido entre 5826 es 15 y sobran 5774

Paso 2: 5826 dividido entre 5774 es 1 y sobran 52

Paso 3: 5774 dividido entre 52 es 11 y sobran 2

Paso 4:  53 dividido entre 2 es  26 y sobran cero

Así que gcd(93164, 5826)=2

1.3 Algoritmo euclidiano 

El algoritmo euclidiano, como cualquier algoritmo produce una secuencia de eventos. Cada evento depende de una manera sencilla del evento anterior, pero uno no capta toda la secuencia en una sola fórmula. Si embargo en realidad es una fórmula, la llamada fracción continua.

Por ejemplo, cuando aplicamos el algoritmo euclidiano para el par 211,27 produce la secuencia de coeficiente 7;1,4,2,2. Esta secuencia es capturado por la ecuación

Se obtiene de la siguiente manera:

En esta etapa el proceso se detiene porque el resto es 1 y previo divisor es 2, y es exacta. Puesto que el algoritmo euclidiano, produce números que disminuyen en tamaño, por lo tanto, siempre se detiene. Así que cualquier número racional positivo tiene una fracción continua finita. Y por contrario, si una relación de números produce una fracción continua infinita, la relación es irracional. Hasta ahora no habíamos contemplado aplicar el Algoritmo euclidiano para números… obviamente proporciones racionales. El resultado es sorprendentemente simple y satisfactorio cuando aplicamos el algoritmo de fracción continua a y 1. 

Ahora ocurre esto:

Al aplicar separación entera y parte fraccionaria

Puesto que

No hay necesidad de ir más allá, el denominador a la derecha ahora puede ser sustituido  por

Así que ocurre de nueva vez  y así sucesivamente. Por lo tanto, el algoritmo de fracción continua nunca se detendrá.

El es irracional, y por tanto raíz de dos lo es también. Los griegos sabían que raíz de dos es irracional, por lo que queda la duda si ellos sabían esta demostración.  Sin duda, Euclides sabía que el algoritmo euclidiano implica a la irracionalidad. Es posible que los irracionales fueran descubiertos de esta manera. 

Ejercicios 1: Para los pares de números realizar gcd(n,m) por algoritmo de restas y por el de la propiedad de división. 

1) gcd(53,19)=1

2) gcd(987,61)=1

3) gcd(233,55)=1

4) gcd(177,51)=3

5) gcd(512,42)=2

Ejercicios 2: Obtener la fracción continua para los pares siguientes determinando si es irracional o racional la fracción. 

1) par 223,21

2) par 121,13

3) par 172,5 

Estimado lector, pero Usted se preguntará de nueva vez por qué ampliar el pensamiento matemático cuando el estudiante promedio no puede realizar operaciones aritméticas con números fraccionarios. Ahora toca en este apartado resolver la aritmética de pares ordenados o llamados fraccionarios del tipo a/b.

Como muchas ramas de las matemáticas, la historia de la teoría de los números comienza con Euclides. Elements contiene las primeras demostraciones de descenso (la existencia de factorización y terminación del algoritmo euclidiano), la primera prueba de la existencia infinita de los números primos y el primer estudio extenso de números irracionales, Euclides también hizo un gran avance en un tema que ha progresado muy poco desde entonces: números primos de la forma 2n-1 y números perfectos.

1.4 Números perfectos

Los números enteros positivos se llaman números perfectos si es la suma de sus divisores propios positivos menos sí mismo. Por ejemplo, los divisores de 6 son 1, 2 y 3 y 6=1+2+3, por lo que es un número perfecto. Los dos siguientes números perfectos son 

28, 496, 8128, 33 550 336, 8 589 869 056, 137 438 691 328,…

Euclides descubre que , es una forma alternativa de escribir un número perfecto, cuando se cumple que es un primo. Su prueba es muy simple, si escribimos p= los divisores apropiados de son debido a la factorización única.

Si 

y

La suma del primer grupo es , y la suma del segundo grupo es 

Por lo que es la suma de los divisores propios [divisores propios, se dice que un número entero b es divisible entre un número entero a (distinto de cero) si existe un entero c tal que b=a x c]

será necesario.

Todavía no sabemos sobre una descripción clara de los números primos de la forma . Menos aún sabemos si hay infinitamente muchos de ellos. Y, finalmente, no sabemos si hay algún número perfecto impar en todos ellos. Menos aún se sabe de los números primos de la forma, pero vale la pena mencionar porque desempeñan un papel inesperado en un problema geométrico antiguo: la construcción regular de m-gons con regla y compás^[1]. Euclides dio construcciones de polígonos regulares de m=3 (triángulo equilátero) y m=5 (Pentágono regular) y para valores de m se deriva de estos por tomar su producto  y doblar varias veces el número de partes, Gauss construyó un 17-gons (polígono regular de 17 lados) en 1796. Un polígono generalizado es una estructura m-gons de estructura de incidencia introducida por Jacques Tits en 1959. 

Una estructura de incidencia es un triple (P, L, I) donde P es un conjunto cuyos elementos se llaman puntos, L es un conjunto disjunto cuyos elementos se llaman líneas y I ⊆ P × L^[2] es la relación de incidencia simétrica^[3].

La clase del descubrimiento del patrón de Gauss es que 3, 5 y 17 son primos de la forma 

es decir,

Gauss encontró de hecho que los polígonos construibles con un número primo de lados, son aquellos para los cuales el primo es de la forma . Puede ser demostrado fácilmente que los primos son realmente de la forma , pero solo cinco de ellos son conocidos:

Así, a pesar de que Euclides probó que hay infinitamente muchos números primos, los intentos de encontrar primos de las formas y , han sido un fracaso rotundo. No cabe duda que los primos son el concepto más sencillo y difícil en las matemáticas, por lo que son, probablemente, el concepto que mejor resume la naturaleza de las matemáticas en sí mismas. Le vemos aparecer otra vez, en los lugares donde las matemáticas son particularmente interesantes y difíciles.

1.5 Números primos 

Los números primos son los enteros positivos fáciles de definir pero difíciles de comprender, son mayores de 1 que no son productos de enteros positivos más pequeños. Así la secuencia de números primos comienza con 

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67        71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163     167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269      271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383     389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499     503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619      631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751      757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881      883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

Cada número entero positivo n puede factorizarse en números primos, porque si n no es primo, es un producto de números enteros más pequeños a y b, nosotros podemos repetir el argumento con a y b: si cualquiera de ellos no es primo, entonces es el producto son números enteros positivos más pequeños y así sucesivamente. La factorización de primos es una pendiente finita. En resumen, un número primo no incluye al 1, por que este es la unidad, ni es primo y ni es compuesto. Un número compuesto es el que se obtiene multiplicando otros dos números. Todos los primos son impares excepto el 2, que es el único par encontrado. La factorización prima de números mayores a 1, es única sin importar el orden de los factores, por eso 1 no se considera primo. Pero, para retomar ahora las pendientes infinitas descendentes, citaremos a Fibonacci 1202 y Fermat 1670. Fibonacci utilizó el método para encontrar lo que ahora se llaman fracciones egipcias. Los antiguos egipcios tenían una curiosa manera de tratar con fracciones escribiendo a cada fracción entre 0 y 1 como la suma de las distintas fracciones de la forma 1/n, llamada fracción unidad. 

No es difícil encontrar fracciones como estas por ensayo y error, pero cómo podemos estar seguros. Fibonacci dio un método que puede ser probado para alcanzar el éxito, es decir, varias veces elimina la fracción más grande de la unidad. Método de Fibonacci siempre funciona porque, sin un b es una fracción en su mínima expresión y 1/n es la fracción más grande de la unidad menos que a/b, entonces

Es tal que . Si luego  , por eso que 1/n no es la más grande fracción  de unidad menos que a/b. Así el numerador del resto disminuye continuamente hasta detenerse (necesariamente en 1) en un número finito de pasos. Aquí mostramos como es esto para 5/7:

1/2= mayor fracción a la unidad< 5/7

Así que considere 

                          Note que 3<5

Siguiente

 1/5= es mayor fracción < 3/14

considere

                Esto da por terminado

La solución es

Otra manera es aplicando el método de James Joseph Sylvester, produce la representación de número racional r = a/b entre 0 y 1 como fracción egipcia:

1. Encontrar la fracción unitaria más ajustada a r pero menor que r. El denominador se puede hallar dividiendo b entre a, ignorando el resto y sumando 1. Si no hay resto, r es una fracción unitaria, así que ya no hay que seguir calculando.

2. Restar la fracción unitaria de r y aplicar de nuevo el paso 1 utilizando la diferencia entre las dos fracciones como r.

Para 5/7

5/7= 0 con algún residuo, entonces la primera fracción unitaria es 1/2

14/3= 4 con algún resto, entonces la siguiente fracción unitaria es 1/5

1/70 es una fracción unitaria y se concluye.

Ejemplo 1: para 21/32

21/32= 0 con algún residuo, entonces la primera fracción unitaria es 1/2

32/5= 6 con algún residuo,  entonces la primera fracción unitaria es 1/7

224/3= 74 con algún residuo,  entonces la primera fracción unitaria es 1/75

1/800= es una fracción unitaria y se concluye.

Es importante notar que las fracciones egipcias no son la única posibilidad, por ejemplo para 19/20

El resultado de Fermat fue considerado más sofisticado que el de Fibonacci, pero similar en su origen. Él probó que no hay ningún entero positivo x,y,z  tal que

Demostrando que cualquier supuesta solución, es una solución más pequeña. Los enteros positivos no pueden disminuir indefinidamente, tenemos una contradicción. Fue Fermat quien introdujo el término descenso de este tipo de prueba. Se aplica la palabra descenso a cualquier prueba que se basa en el hecho de un descenso infinito posible en los números enteros positivos. 

1.6 Números irracionales 

Como ya hemos expresado, los irracionales fueron reconocidos hace más de 2 mil años, pero es en los últimos 150 años que los detalles más importantes fueron revelados. En 450 antes de Cristo, los griegos desarrollaron matemáticas puras, desde entonces es constante el nombre que se les dio a los números irracionales, demostrando que el lado y la diagonal de un cuadrado no se puede medir simultáneamente por la misma unidad o, dicho de otro modo, que la diagonal es inconmensurable con cualquier unidad que se mida el lado. Una responsabilidad moderna para nosotros, es reconciliar lo inconmensurable con lo irracional. Los irracionales irrumpen en la historia para dejar claro que no hay lugar permanente en el mundo de las matemáticas. ¿Qué entendemos por número irracional? Es un número inconmensurable que no se puede expresar como el cociente de dos enteros. O es un número decimal que no es finito ni recurrente. Para ambas definiciones, lo irracional se define en términos de lo que no es, es algo así como definir un número impar de uno que no lo es. Mas aún, estas respuestas están plagadas de limitaciones: por ejemplo, ¿cómo utilizamos para definir igualdad entre, o las operaciones aritméticas de dos números irracionales? Aunque esto es familiar, las definiciones anteriores son absolutamente inútiles en la práctica. Por ello, los números irracionales están siendo definidos en términos de una de sus cualidades características, no como entidades que no existen. ¿Quiénes somos para decir que todos ellos existen? Por novedad, adoptamos un tercer enfoque:

Puesto que cada número racional k puede ser descrito como:

Cada número racional es equidistante de los dos otros números racionales (en este caso k+1, k-1);: por tanto, ningún número racional es tal que es una distancia diferente de todos los demás números racionales. 

Con esta observación definimos los números irracionales como: el conjunto de todos los números reales con diferente distancia de todos  los números racionales.

El conjunto de los números racionales es del mismo tamaño que el conjunto de números enteros, pero los números racionales son mucho más numerosos. Este problema estuvo a fuego lento durante siglos, en el siglo XIX matemáticos más rigurosos examinaron este hecho. De regreso a los griegos, “todas las cosas son números” era la máxima de Pitágoras y central a su filosofía. Número significó solo los discretos enteros positivos, con 1 como unidad por lo que fueron medidos todos los otros números. Esto significó que todos los pares de números eran múltiplos de la unidad; es decir, todos los pares de números eran conmensurables por la unidad. En contraste, longitudes, áreas, volúmenes, masas,…, eran cantidades continuas, las magnitudes físicas sirvieron a los griegos en lugar de los números reales. Cocientes discretos eran expresiones seguras  y su magnitud se podría prever también, siempre que los dos valores afectados fueran del mismo tipo. Además, la declaración de proporciones A/B=C/D donde en un lado de la igualdad se encuentran magnitudes de un tipo y del otro de otro tipo. Además, su estudio de las escalas musicales reveló que estas coinciden con la armonía musical de los sonidos, medidos como radios de números enteros de longitudes de cuerda, por ejemplo, la octava corresponde a una relación de longitud  de 2 a 1 y un perfecto 3 a 2. Esto evidencia la continuidad, que se podría medir en forma discreta. Vieron que las modificaciones y las proporciones de las escalas musicales eran expresables en números; desde entonces, todo lo demás parecía en su naturaleza entera para modelar en números los cielos y las cosas como sí fueran proporciones o escuelas que demuestran que la realidad son números.

Con este dogma Pitagórico, todo estaba listo para una fuerte crisis matemática de auténtico escándalo lógico. Entre Antioch y Proclus atribuyeron la definición de ángulo como una cantidad, específicamente la distancia entre líneas o planos. Con la autoridad de Proculos, Thales, el primero de los siete sabios de la tradición griega, trajo de Egipto a Grecia los siguientes postulados geométricos:

1. Un círculo es atravesado por cualquier diámetro.

2. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.

3. Los ángulos entre dos rectas que se cruzan son iguales.

4. Dos triángulos son iguales sin tienen dos ángulos y un lado igual.

Estos parecen desde nuestro tiempo logros muy modestos, sin embargo, su simplicidad desmiente su significado, como exhiben el germen de los procedimientos deductivos de la filosofía griega, recuerde que aún civilizaciones egipcias y babilónicas no tenían ningún pensamiento axiomático, abstracto o generalizado para resultados matemáticos. Estas recetas individuales son desde luego muy importantes, pero no son resultado de un proceso deductivo. Para darnos una idea de la magnitud de las recetas de Thales, deberíamos estudiar la enorme aplicación que ha significado el Teorema de Pitágoras. Con esto, la dirección del progreso matemático fue determinada como la cuna de la ciencia, al presentar las bases del razonamiento deductivo para inferir conclusiones lógicas. 

El innombrable inconmensurable, estaba listo para crear una crisis matemática sin precedente. Tenga presente que los griegos llamaron al inconmensurable lo que hoy llamamos número irracional. Tengamos presente que para los pitagóricos todas las cosas existentes son números, la propia existencia es un número, y además introducen los términos: magnitud, longitud, área, volumen, lo que significó que no solo fueron notas musicales. Cualquier longitud era conmensurable entre sí, es decir, dados dos lineas de diferente longitud, para los pitagóricos allí debe existir una tercera línea la cual es su común unidad. En notación moderna, y con unidad común u, deben existir enteros y tales que  

La consecuencia de esto es que

Çç la relación entre dos magnitudes cualquiera es el cociente de dos enteros 

Y la conveniencia del dogma filosófico depende de este resultado. En notación moderna, la unidad se llama monada, el proceso de demostración es

Nos da

La media aritmética;

Nos da

La media geométrica.

Nos da

La media harmónica.

Con la formula de la media geométrica 

Tenemos la aparición de .

Dicho esto, se le atribuye a Hippasus de Metapontum, se le acusa de destruir el concepto de conmensurabilidad que rompió el dogma hermético de Pitágoras y fue Proclus quien respaldó este hecho, sacudiendo los cimientos de una realidad continua, algo semejante a la teoría cuántica que hace ver en forma discreta la realidad. Los pitagóricos habían hecho encajar la idea de que el mundo es algo cuantificable o medible, como forma cosmológica continua, pero los inconmensurables como cociente de dos magnitudes, significa que la herramienta geométrica fundamental  se asemeja a un acto de probar la existencia. Los inconmensurables Platón los refirió como inmencionables, quizá con la idea de ocultar el poder de este descubrimiento respecto al mundo religioso. El método de prueba sobre raíz de dos, es un misterio, se cree que se realizó mediante un cuadrado de lado uno y de alguna manera al intentar demostrar su longitud diagonal se descubre que es inconmensurable, así lo mencionó el Libro Elements. En forma moderna supongamos que:

Donde a y b son números enteros en sus términos más bajos. Luego  

Así que  

Si escribimos a=2k, entonces 

y

Por lo tanto, en su forma geométrica se esconde su belleza inherente de la discusión.

Desde este punto los griegos no hicieron nada para abrazar a los irracionales, habían evitado tanto como les fuera posible utilizar la geometría para sobrellevar a estos números, los romanos tampoco hicieron nada para adelantar en esta materia el pensamiento sobre los irracionales. Si queremos continuar con el avance histórico de estos números, tendremos que mirar a las civilizaciones Hindú y Árabe. Para los primeros, investigar la matemática no fue un deseo de pureza abstracta como fue para los griegos, sino una mezcla de las necesidades de hacer frente a la práctica contable, astronomía  y astrología. Y además, el deseo de entender la teoría del sistema numérico; de ellos fue la aceptación del cero como el conjunto vacío y neutro entre positivos y negativos, y perfeccionaron el sistema de posiciones base 10 y desarrollaron las raíces cuadradas de números. Esto no significó el progreso filosófico respecto a los irracionales, solo fueron aceptados como números y manipulados de la misma manera como a los racionales, creando la aritmética irracional. Para estos antiguos Hindúes no implicó una raíz cuadrada, para estos dos enteros a y b su prescripción resulta en 

Y así 

Por supuesto la idea era crear cuadrados perfectos al introducir un factor, que solo es posible si todos factores primos a y b aparecen con la misma paridad en su potencia. Si tomamos a=3 y b=12, podemos tomar a c=12 para que ocurra

Esto resulta complicado para nuestra mirada moderna, pero ciertamente fue una idea de nueva perspectiva.

Es decir

Otra vez empleando el ejemplo anterior:

Los Hindúes desarrollaron estas equivalencias:

 A su manera los hindúes podían manipular los números irracionales de la forma de raíces cuadradas de números enteros no cuadrados.

Pero fueron los Árabes los que introducen los conceptos de álgebra y algoritmo por ejemplo. Fue el desarrollo del álgebra que provocó significativamente el uso de números irracionales que difumina la distinción entre tipos de números: enteros, racionales o irracionales, estos últimos tratados como raíz de un tipo de ecuación; el manipular la ecuación implica emplear números de este tipo.

1.7 números de Fibonacci y candidates racionales

Leonardo Bonacci, Leonardo Bigollo o Leonardo Pisano, o más reconocido en nuestro tiempo como Fibonacci (1170-1250 d.c.). Fibonacci se hace famoso por aportar una secuencia de números para el problema de cría de conejos, pero él fue un gran teórico de los números y desde niño aprendió el sistema hindú de numeración decimal y en sus viajes a Medio Oriente se hace de conocimientos matemáticos desconocidos en Europa. El cero y la noción de serie numérica pronto los reconoce como de enorme ventaja para hacer avanzar a la humanidad en el terreno aritmético. El tratamiento de los números inconmensurables de Euclides en particular le despertó enorme curiosidad, se planteó encontrar la raíz (única verdadera) de la ecuación:

Sus argumentos establecen rápidamente que tal raíz no puede ser integral o racional, por otra parte, no podrá tomar cualquier forma dicha en el Libro X de Euclides Elements, y como tal representa un nuevo tipo de número irracional, que no es capaz de construcción por escuadra y compás, haciéndose eco por Omar Khayyam quien afirmó que efectivamente no era posible resolver la ecuación por todo lo conocido hasta ese momento.

Las soluciones encontradas las estimó en un sistema sexagesimal:

Es una aproximación racional a nueve lugares decimales de exactitud para el número irracional

La propia naturaleza cíclica de los objetos celestes requiere que sus movimientos sean conmensurables unos respecto de otros; una prueba contraria destruiría la exactitud de las repeticiones y así el año no sería perfecto. El argumento supone que dos cuerpos se mueven hacia adelante y hacia atrás a la misma velocidad, uno a lo largo del lado y el otro en la diagonal de un cuadrado (con implícito cambio instantáneo de la dirección; si cada uno de ellos sale desde la misma esquina al mismo tiempo), entonces su regreso simultáneo a esa esquina requiere la existencia de los números positivos n y m hasta que ,  con la irracionalidad de esta representación imposible se tambalea la exactitud. Sin embargo, admitió Fibonacci que llevar esta discusión a los movimientos de los cuerpos celestes requiere una gran discusión. El que estuvo dispuesto a esta empresa fue Edward III arzobispo de Canterbury, tomando la idea de Aristóteles que creía que el cociente de la fuerza a la resistencia de un objeto es proporcional a la velocidad lograda de tal modo, una visión falsa, es decir, un aumento geométrico en el cociente de esa fuerza de resistencia resulta en una aritmética de incremento en velocidad. John Duns Scotus argumentó, que si la velocidad de dos objetos celestes eran inconmensurables entre sí, entonces así sería la distancia que viajarían en periodos de tiempo iguales y esto les haría volver a cierta configuración inicial en algún tiempo futuro imposible. En términos de la ecuación de Bradwardine para los coeficientes de las fuerzas (desconocidas) y las resistencias se espera para el exponente que la fracción de la velocidad sea un número irracional.

Por supuesto, para ese tiempo no había esperanza de acercarse a demostrar rigurosamente esto y se recurrió a un salto casi de fe, extrapolando un caso práctico de aritmética finita a la gran complejidad del movimiento celeste visto desde el año 1350. Sin embargo, este argumento no destruyó la creencia de un año perfecto, pero lo podemos considerar como una de las primeras declaraciones de que los irracionales están presentes en la realidad.

El fraile italiano Franciscano Luca Pacioli (1487) escribió para la “divina proporción: Justo como Dios no puede ser correctamente definido, ni puede ser entendido a través de palabras, esta proporción señala además a través de números inteligibles, no puede expresarse a través de cualquier cantidad racional, pero siempre permanece oculta y en secreto, y los matemáticos le llaman irracional”^[4].

Michael Stifel (1544) en su aritmética dijo: “con razón se discute si los números irracionales  son números verdaderos o falsos. Ya que, en el estudio de figuras geométricas, donde nos fallan números racionales, los irracionales tienen su lugar y demostración exactamente aquellos números que no pueden ser probados… estamos movidos y obligados a admitir que realmente son números, obligados por los resultados que se derivan del movimiento celeste. Por otro lado, otras observaciones no obligan a no considerarlos números. A saber, cuando tratamos de someter a números para evadir a los irracionales… Ahora podemos llamar numero real a la naturaleza que carece de precisión. Por lo tanto, tal como un número infinito no es un número, un número irracional no es un número verdadero, pero se encuentra oculto en una especie de nube infinita”. 

En cuanto a pi:

“Por lo tanto el círculo matemático se describe acertadamente como el polígono regular de infinitos números de lados. Y así la circunferencia matemática no requiere de números racionales o irracionales”^[5].

Pero finalmente Simon Stevin 1585 fue quien introduce a Europa el sistema decimal Árabe-Hindú y la aritmética de enteros, fracciones e irracionales, así como algo de álgebra polinomios y teoría de las ecuaciones. Para él, 1 era un número, pero cero no fue reconocido como número, aunque los negativos fueron acogidos, los números complejos fueron desechados. Además, él hizo del punto euclidiano algo más al referirlo como un concepto de continuidad^[6] al compararlo con un flujo de agua y cada una de sus magnitudes que corresponde a una serie continua. Era impensable que la recta numérica o un plano tuviese perforaciones de caídas descendentes de números irracionales.

Frenchmen Pierre de Fermat (1601-65) y René Descartes (1596-1650) en común matemáticos y filósofos, quizá también en su actitud escéptica. Fermat comúnmente al escribir ecuaciones enseguida investigaba su curva asociada. Descartes escogía una curva conocida e intentaba encontrar la ecuación asociada en términos de “x” y “y”. Con el advenimiento de la geometría analítica fue necesario resolver ecuaciones, que eran equivalentes a sus problemas geométricos asociados, pero a menudo estos presentaron raíces irracionales; apenas fue un problema nuevo, pero que ahora asume el momento histórico de mayor desafío práctico. Por ejemplo, el problema de encontrar la distancia entre dos puntos en el plano, con la prevalencia de irracionales cuadráticos, a pesar de que los puntos pueden ser coordenadas racionales, la distancia entre ellos es probablemente un irracional para:

Si suponemos una táctica para evitar números irracionales en el conjunto, es decir, solo considerar distancias racionales en el plano. Ahora, supongamos que podemos elegir tres puntos distintos para formar los lados de un triángulo con lados racionales, entonces el coseno con notación estándar tiene que ser

Este cociente es el ángulo de rotación del triángulo. Si A es racional medido en grados, los valores con A serán

Los valores aceptables serían 60º y 90º ya que el mismo debe ser válido para los tres ángulos, para 60º el triángulo es equilátero. En definitiva, los únicos posibles triángulos con lados racionales deben ser equiláteros. 

Pasamos ahora un círculo unitario

En su forma paramétrica estándar:

Sabemos que contiene un número infinito de puntos racionales, con la parametrización todos ellos con parámetro t varían sobre todos los números racionales. Sin embargo, hay un número infinito de puntos en el círculo de al menos una coordenada que es irracional. ¿Pero importa esto? Tratando de encontrar la intersección de con la línea y=x se revela rápidamente que los números irracionales no se pueden evitar.

Por ejemplo, el círculo , otra vez tiene infinitos puntos racionales y al menos una coordenada irracional, Usted lo puede comprobar verificando en su forma parametrizada rotando el valor de t.

Para no hay un solo punto racional por no haber parametrización racional. En fin, con el nacimiento del álgebra geométrica, los números irracionales eran por lo menos implícitamente y explícitamente a menudo indispensables. El cálculo diferencial e integral que pronto nacería necesitaría de una noción de curva geométrica, surgida de rectas que pertenecen a círculos, los círculos son llamados polígonos regulares de n lados. Actualmente el problema de los irracionales se trasladó a lo que ahora conocemos como integración, en el continuo de cálculos sobre áreas bajo la curva aparecen los irracionales de nueva cuenta. El uso de infinitesimales hace conciencia de que un número de raíces inconmensurables entre sí, podrían reunir en una suma una relación que explica cantidades racionales, como si la infinitud misma de sumas de áreas infinitesimales destruyera de su interior la irracionalidad.

El número es

1.8 El número e

Este número es atribuido a Jacob Bernoulli (1654-1705^[7]) y Leonhardo Euler. Euler sabía que la forma de fracción continua simple de un número irracional es sin fin. Para demostrar un irracional se necesita construir una fracción continua para ver sí desciende de manera infinita y poder asegurar que estábamos frente a un irracional. 

2.71828182845904

El número e en forma de fracción continua y en forma de decimal con 14 dígitos

Resulta extraño que Euler no hubiera detectado que la irracionalidad de e era una consecuencia inevitable de su representación canónica como serie infinita, bien conocida por él.

Fue Joseph Fourier, quien relaciona la irracionalidad de un número a la serie infinita de su representación.

Hemos descubierto hasta aquí los números trascendentales:. Si la expansión decimal de un número a/b es finita, entonces  es un racional. Si la expansión decimal de un número a/b es infinita, entonces es irracional. 

Referencias

[1] http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0195669802001191

[2] https://cage.ugent.be/geometry/Theses/19/ekuijken.pdf

[3] http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0097316582900061

[4] Ehrig, H., & Mahr, B. (1985). Fundamentals of Algebraic Specification 1: Equations and Initial Semantics (Monographs in Theoretical Computer Science. An EATCS Series) (Softcover reprint of the original 1st ed. 1985 ed.). Springer.

[5] Ehrig, H., Ehrig, K., Prange, U., & Taentzer, G. (2009). Fundamentals of Algebraic Graph Transformation (Monographs in Theoretical Computer Science. An EATCS Series) (Softcover reprint of hardcover 1st ed. 2006 ed.). Springer.

[6] Stevin, S., Alexandria, D. O., & Girard, A. (2013). L’Arithmetiqve de Simon Stevin de Brvges - Primary Source Edition (French Edition). Nabu Press.

[7] HORMANN, J. O. S. E. (1956). UEBER JACOB BERNOULLIS BEITRAGE ZUR INFINITESIMALMATHEMATIK (MONOGRAPHIES DE L’ENSEIGNMENT MATHEMATIQUE NO. 3). INSTITUT DE MATHEMATIQUES; UNIVERSITE, GENEVE.