Texto universitario
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Módulo 3. Ángulos
3.1 Recta y giro
En lenguaje cotidiano, la palabra “ángulo” se emplea a menudo para designar el espacio entre dos líneas o una rotación de giro de una rueda. Ambos sentidos se utilizan en matemáticas aunque el segundo término es más apropiado para los diagramas. Cuando una recta gira alrededor de un punto fijo de nombre vértice sin salir del mismo plano, genera un ángulo, si gira en sentido de las manecillas del reloj diremos que generó un ángulo negativo o dextrógiro, y si gira en sentido contrario a las manecillas del reloj generó un ángulo positivo o levógiro.
La posición original de la recta antes de girar se llama lado inicial y la que toma al describir el ángulo, lado terminal, la forma de denotarlo es mediante el símbolo ∠ o ? seguido de la letra del vértice o mediante las tres letras que forman el ángulo, en ?ABC observe que la letra de en medio en este caso B representa al vértice, A y C los puntos de inicio y final respectivamente en el sentido que se genera el ángulo, también podemos representar un ángulo mediante el uso de letras griegas, en el ejemplo está representado con la letra ∝, también podemos indicarlo con algún número.
 10.46.03.png)
Ángulo interior positivo generado en sentido contrario a las manecillas del reloj ?ABC .
 10.48.22.png)
Ángulo exterior positivo generado en sentido contrario a las manecillas del reloj ?CBA.
 10.51.04.png)
Ángulo negativo generado en sentido de las manecillas del reloj ?ABC
Las aplicaciones de los ángulos son muchas y variadas, algunas de uso cotidiano, como los lentes polarizados donde el ángulo de polarización es llamado el ángulo de Brewter[1], cuando te observas en el espejo, el diseño de tu celular, tu ropa, la construcción y diseño de tu casa, los científicos usan los ángulos en la representación de modelos físicos, los astrónomos para calcular distancias inaccesibles como las de los planetas, mediante ángulos se explica el fenómeno de difracción y refracción de la luz, los topógrafos hacen el cálculo de ángulos en un plano horizontal llamados ángulos acimutales y en un plano vertical llamados ángulos cenitales.
La unidad más común para expresar ángulos son los grados º, denotados por el signo de giro o revolución, con un giro completo o revolución de 360º. Los ángulos también se pueden medir en radianes, y usted puede puede encontrar los radianes más en el ámbito de la tecnología, las ciencias y matemáticas asociadas con el movimiento.
Ángulo bisector: Cada ángulo tiene exactamente un ángulo bisector, una línea recta que divide un ángulo en dos ángulos congruentes (iguales).
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3.2 Tipos de ángulo
Hay diferentes tipos de ángulos, dependiendo de su tamaño se les asigna un nombre. Ángulo agudo: es el que mide más de 0º y menos de 90º, es decir que sea inferior a un cuarto de vuelta.
 10.55.34.png)
Ángulo recto: es el que mide 90º, se coloca un cuadrado en el vértice para indicar gráficamente que es ángulo con esta medida. Es un cuarto de vuelta.
 11.01.11.png)
Ángulo obtuso: es el que mide más de 90º y menos de 180º. Un ángulo entre más de un cuarto de vuelta y menos de una media vuelta.
 11.01.42.png)
Ángulo llano o colineal: mide 180º exactamente
 11.04.03.png)
Ángulo entrante o reflejo: mide más de 180º y menos de 360º. Cualquier ángulo que esté entre media vuelta y un giro completo.
 11.05.23.png)
Ángulo perigonal o completo: mide 360º. Esto es un giro completo o revolución exacta de 360º.
 11.08.29.png)
Recuerde que si el ángulo entre dos líneas rectas es de 90º, se dice que es perpendicular. La notación puede ser ambigua si hay más de un ángulo en el vértice, cada ángulo deberá ser representado con un símbolo distinto entre las líneas.
Para practicar, clasifica los siguientes ángulos escribiendo el nombre de acuerdo a su medida
 11.12.27.png)
Escribe el ángulo que está representado en las figuras, de la siguiente manera; usando la letra del vértice, usando las tres letras y con la letra griega que se denota.
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3.3 Medidas de ángulo
Los ángulos podemos medirlos de forma trigonométrica, calculando la rotación de la recta generadora cuyo vértice es el origen del plano cartesiano y el lado inicial es el eje OX.
Los ángulos en los cuadrantes[2] podemos graficarlos con vértice en el origen pudiendo generar cualquier medida de ángulos, incluso mayores de 360º, lo que significa que la recta generadora gira varias vueltas y parte de ellas, ejemplo:
 11.16.58.png)
Coloque la línea base del transportador en un brazo del ángulo con el centro 0 en el vértice. Por ejemplo, medir 40º:
 11.20.19.png)
Así el ángulo 1110º es un ángulo generado al haber dado 3 vueltas más 30º, así 1110º es equivalente a uno de 30º que se ubica en el primer cuadrante, ya que:
1110º= 3360º+30º
 11.15.45.png)
Para practicar:
Trazar en el plano cartesiano los siguientes ángulos indicando el número de cuadrante en el que se encuentran mediante una semi-recta.
a) 1845º b)820º c)1560º d) 3160º e) -60º f)-100º
 11.22.26.png)
3.4 Unidades de medida de ángulos
Medir es comparar respecto de una unidad patrón elegido, existen varias unidades para hacerlo, la más conocida son los grados sexagesimales[3] que equivalen a la 360º parte de una circunferencia, a cada parte se le llama grado y se representa con el símbolo º, cada grado tiene 60 minutos que se representan con ‘ y cada minuto 60 segundos que se representan con ”, otra unidad de medida es el radián, ángulo central subtendido por un arco de longitud igual al radio.
A los grados sexagesimales los llamaremos simplemente grados para referirnos a ellos, se usan en astronomía y navegación[4]. Los radianes son usados en cálculo infinitesimal debido a que facilita los cálculos algebraicos y aritméticos.
 11.26.28.png)
Una vuelta completa del círculo son 360º y la longitud de la circunferencia es 
, la relación entre estos dos sistemas de medición es:
radianes=360º
simplificando
usando esta regla de conversión podemos encontrar la equivalencia de grados a radianes y de radianes a grados.
Ejemplo: convertir 45º a radianes
 11.30.27.png)
Ejemplo: convertir 
a grados
 11.31.19.png)
Para practicar: completa la siguiente tabla y compara tus resultados con los de tus compañeros
 11.31.55.png)
Muy a menudo los ángulos en una forma están determinados por las propiedades geométricas de esa forma. Por lo tanto, cuando sabes que una forma es un cuadrado, no es necesario medir los ángulos para saber que son de 90º. Las formas le permiten deducir y calcular ángulos en lugar de medirlos. Una propiedad útil de recordar es que varios ángulos que componen un giro completo, la suma de esos ángulos debe ser 360º.
3.5 Pares de ángulos
Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen un lado común y el otro lado no común es una recta. La suma de los ángulos adyacentes es un ángulo llano.
 11.39.00.png)
El lado común es 
y los lados no comunes están sobre la recta
.
Por ejemplo los ángulos adyacentes ?A0B y ?B0C de la siguiente figura tienen el lado común 
y están sobre la recta 
, calcular su medida si están en relación 4:5.
 11.43.20.png)
Como los ángulos son adyacentes son suplementarios entonces suman 180º
 11.43.48.png)
Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º.
 11.44.23.png)
Ejemplos: calcular el complemento de los siguientes ángulos
a) 47º
el complemento de un ángulo es cuánto le falta para valer un ángulo recto, esto es 90º, por lo tanto
 11.45.51.png)
así 43º es el complemento de 47º, podemos comprobarlo al sumar y verificar que la suma es igual a 90º.
Por lo tanto es suficiente restar el ángulo a 90º.
b) 50º 20´
 11.46.59.png)
c) 38º 20´29”
 11.47.20.png)
Ángulos suplementarios: dos o más ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180º.
 11.48.20.png)
Ejemplos: calcular el suplemento de los siguientes ángulos
a) 124º
el suplemento de un ángulo es lo que le falta para valer un ángulo llano o 180º, por lo tanto
 11.48.44.png)
Por lo tanto es suficiente restar el ángulo a 180º.
b) 150º 35´
 11.49.04.png)
c) 170º 48´55”
 11.49.38.png)
Ángulos opuestos por el vértice (par vertical): los ángulos no adyacentes formados cuando dos rectas se intersectan se llaman ángulos opuestos por el vértice. Tienen la misma medida.
 11.50.23.png)
Los ángulos ?EDB y ?CDA son opuestos por el vértice e iguales en medida, de la misma manera ?BDC y ?ADE.
Para practicar:
1. Calcular el complemento de los siguientes ángulos, llena la tabla con los resultados obtenidos
 11.51.40.png)
2. Calcular el suplemento de los siguientes ángulos, llena la tabla con los resultados obtenidos
 11.52.21.png)
Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una trasversal
Las rectas paralelas de acuerdo con la geometría plana no se cortan o no tienen ningún punto en común y las que tienen un punto en común se llaman oblicuas en particular si se cortan formando ángulos rectos se llaman perpendiculares[5].
Al cortar la transversal a las rectas paralelas se forman ocho ángulos, cuatro interiores ?2,?3,?5 y ?8 y cuatro exteriores ?1,?4,?6 y ?7, que se observan en la figura siguiente:
 11.54.41.png)
Los siguientes pares de ángulos son iguales en medida y reciben los siguientes nombres:
Ángulos alternos internos, se encuentran a los lados de la oblicua y son interiores, en la figura ?2 y ?8, ?3 y ?5.
Ángulos alternos externos, se encuentran a los lados de la oblicua y son exteriores, en la figura ?4 y ?6, ?1 y ?7.
Ángulos correspondientes, se encuentran del mismo lado de la oblicua y del mismo lado de cada paralela, en la figura ?1 y ?5, ?2 y ?6, ?4 y ?8, ?3 y ?7.
También se forman ángulos opuestos por el vértice que ya se definieron, en la figura son: ?1 y ?3, ?2 y ?4, ?5 y ?7, ?6 y?8.
Si se traza las líneas en una de las intersecciones del diagrama siguiente y las colocas sobre las líneas en otra intersección, encontrará que los dos conjuntos de líneas coinciden exactamente. Los cuatro ángulos en cada intersección también coinciden exactamente: por lo tanto 
 12.07.22.png)
Los pares de ángulos que se corresponden entre sí en tales intersecciones se denominan ángulos correspondientes.
En el diagrama siguiente, los ángulos 
correspondientes son los ángulos m y n por ser paralelos.
 12.10.19.png)
Cuando una línea interseca dos líneas paralelas, los ángulos correspondientes son iguales.
Por otro lado. Cuando una línea interseca dos líneas paralelas, los ángulos alternativos son iguales, como se puede apreciar en la siguiente figura:
 13.07.45.png)
Es importante darse cuenta de que puede encontrar los tamaños de ángulos desconocidos en muchas formas mediante el uso de una combinación de las propiedades de ángulos que se han descrito. Para resumir:
- Los ángulos verticales opuestos son iguales.
- Los ángulos en un punto suman 360º.
- Los ángulos en línea recta suman 180º.
- Los ángulos correspondientes en las lineas paralelas son iguales.
- Los ángulos alternativos en las líneas paralelas son iguales.
Ejemplos:
a) En la siguiente gráfica calcularemos el valor de los ángulos que se indican:
 11.56.51.png)
 11.57.11.png)
b) Encuentra los valores de x y y de en la siguiente figura de dos rectas paralelas cortadas por una secante (oblicua):
 11.57.39.png)
los ángulos 
y 120º son iguales por ser opuestos por el vértice y los ángulos 
y 
también por ser alternos internos, por lo tanto tenemos un sistema de ecuaciones que resolveremos por el método de suma y resta[6]
 11.59.55.png)
multiplicando la ecuación 2 por -1 y sumándola con la ecuación 1 tenemos:
 12.00.19.png)
sustituyendo el valor encontrado en una cualesquiera de las ecuaciones originales tenemos:
 12.00.42.png)
Para practicar:
Considere que las rectas paralelas son cortadas por una secante, ¿cuánto vale 
? 12.01.45.png)
3.5 Demostración en geometría
Para evitar un círculo vicioso, se deben admitir ciertos conceptos primitivos que permanecerán sin definir como proposiciones primitivas, llamadas axiomas o postulados, que quedarán sin demostrar. Estos formarán la base de la teoría matemática de que se trate.
Modelo para demostraciones geométricas. Para el abordaje exitoso de una proposición o teorema, se ha diseñado el siguiente modelo: (a) Construcción; (b) Información, (c) Conjeturas, (d) Encadenamiento de Argumentos y (e) Evaluación[7]:
 18.01.32.png)
Una demostración, es un ?razonamiento que deduce la verdad de una proposición partiendo de axiomas que se han enunciado?, es ?el proceso empleado por un individuo para quitar o eliminar las dudas sobre la verdad de una proposición?. Las proposiciones constan de dos partes: una establece lo que se da o se conoce, llamada ?dato? o ?hipótesis?, y otra que debe probarse, llamada ?conclusión? o ?tesis?. Las demostraciones geométricas en el contexto educativo se asumen como un proceso social, donde los estudiantes reflexionan, dialogan y descubren propiedades, son capaces de comunicarlas y de argumentar su validez, integrándolas así dentro del conjunto de conceptos y relaciones que han ido construyendo a lo largo del proceso de aprendizaje.
Una demostración de dos columnas es una forma común de organizar una demostración en geometría, una columna para declaraciones y otra por razones. La mejor manera de comprender las pruebas de dos columnas es leer algunos ejemplos.
Al escribir su propia prueba de dos columnas, tenga en cuenta lo siguiente:
- Numera cada paso.
- Comience con la información dada.
- Las declaraciones con el mismo motivo se pueden combinar en un solo paso. Es tu decisión.
- Haga un dibujo y márquelo con la información dada.
- Debe tener una razón para cada declaración.
- El orden de las declaraciones en la prueba no siempre es fijo, pero asegúrese de que el orden tenga sentido lógico.
- Las razones serán definiciones, postulados, propiedades y teoremas previamente probados. "Dado" solo se usa como una razón si la información en la columna de la declaración fue dada en el problema.
- Use símbolos y abreviaturas para palabras dentro de pruebas.
Ejemplos:
Referencias
[1] Serway Raymond, Jewett John (2009) Física para ciencias e ingeniería. México: Ceangage Learning.
[2] Corona Rafael, González Francisco et al. (2011) Manejo de espacios y cantidades. México: CONALEPMICH.
[3] Contreras Lira, Jaime Patricia et al. (2006) México: Umbral Editorial, S.A. de C.V.
[4] Brinton George, Weir Marice et al. (2005 ) Cálculo: una variable. México: Pearson Education.
[5] Lira Ana, Jaime Patricia et al. (2006) Geometría y trigonometría. México: Umbral Editorial, S.A. de C.V.
[6] González Francisco, Corona Rafael, et al.(2011) Manejo de espacios y cantidades. México: CONALEPMICH.
[7] Lárez Villarroel, Jesús Daniel. (2014). Las Demostraciones Geométricas como Instancias de Resolución de Problemas. Paradígma, 35(2), 183-198. Recuperado en 06 de mayo de 2020, de http://ve.scielo.org/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1011-22512014000200010&lng=es&tlng=es.