Texto universitario

_____________________________

Módulo 4. Triángulos  

Al comenzar a trabajar con polígonos regulares, es decir, figuras de simétricas, una de las figuras planas más destacadas es el triángulo, figura geométrica plana cerrada de tres lados, o simplemente un polígono de tres lados. Los usos y aplicaciones son muy variados, casi en cualquier lugar que observe encontrará triángulos, como en las estructuras de los puentes, techos de herrería, en electromagnetismo los arrancadores para motor de inducción trifásica, se encuentran en triángulo, de hecho se llaman arrancadores estrella-triángulo, en fisiología existe una función triángulo, llamada triángulo de Einthoven^[1] que se construye a partir de números complejos, y ayuda a calcular la dirección media y la magnitud de los impulsos eléctricos que pasan a través del corazón; eje eléctrico. El famoso triángulo de Pascal que es una herramienta versátil, desde el cálculo de los coeficientes de un desarrollo binomial, desarrollo de potencias…

Todas las formas bidimensionales las podemos dibujar en papel. Las formas geométricas simples se estudian en matemáticas en parte porque se utilizan en miles de aplicaciones prácticas. Los triángulos y círculos son de los más importantes. Un triángulo es una forma bidimesional de tres lados rectos.  En este texto trabajamos con geometría plana y debes recordar que las propiedades que se muestran no son del todo válidas en otro tipo de geometría. Los triángulos se clasifican de acuerdo a la medida de sus lados o a la medida de sus ángulos de la siguiente manera:

Por sus lados:

Triángulo equilátero: tiene sus tres lados iguales y sus ángulos también.

Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales en su longitud, los dos ángulos opuestos a los dos lados iguales también son iguales entre sí.

Triángulo rectángulo: es un triángulo con un ángulo que es un ángulo recto.

Triángulo escaleno: tiene sus tres lados distintos y también sus ángulos.

4.1 Rectas y puntos notables

Los triángulos tienen tres rectas y 3 puntos notables.

Mediatriz: es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado, formando cuatro ángulos iguales de 90º.

Nota: el símbolo se lee perpendicular a.

El punto de intersección de las tres mediatrices H, es el centro de una circunferencia circunscrita, esta toca los tres vértices del triángulo.

Observemos la ubicación del circuncentro respecto en los  distintos tipos de triángulos.

En el triángulo acutángulo: el circuncentro queda dentro del triángulo.

En el triángulo rectángulo: el circuncentro queda sobre el triángulo, en el lado mayor, que se opone al ángulo mayor (90º) que recibe el nombre de hipotenusa.

En el triángulo obtusángulo: el circuncentro queda fuera del triángulo.

Mediana: es el segmento que une un  vértice con el punto medio de su  lado opuesto.

El baricentro de un triángulo es su centro de gravedad y es el punto de intersección de las  tres medianas, también se le conoce como punto G, baricentro o gravicentro. 

Bisectriz: es una semirrecta que biseca o corta a un ángulo, lo hace formando dos ángulos iguales o congruentes.

Incentro se le llama al punto de intersección de la bisectrices de los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es el centro de una circunferencia inscrita.

Altura: es semirrecta perpendicular que se traza desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. 

Ortocentro: es el punto de intersección de las tres alturas, se representa con “O”

Le recta de Euler^[2]  es una línea recta que contiene el ortocentro, el circuncentro y el baricentro.

Para practicar: 

1. Escribe el nombre del  punto de intersección de las siguientes rectas notables:

En los siguientes triángulos traza las rectas notables que se indican y localiza el punto notable correspondiente. 

Teoremas importantes de triángulos:

Teorema: La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo vale 180º.

Teorema: La suma de los tres ángulos exteriores de un triángulo vale 360º.

Teorema: Un ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes.

Calcular el valor de en los siguientes triángulos:

A)

Los ángulos B y 120º forman un ángulo llano por lo tanto suman 180º

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º tenemos:

B)

Como la suma de los ángulos interiores es igual a 180º tenemos:

4.2 Semejanza 

En geometría semejanza entre de dos figuras significa que tienen la misma forma pero distinto tamaño, esto lo podemos observar en los mapas, fotografías, copias fotostáticas…En triángulos la semejanza es tener dos triángulos de la misma forma pero de distinto tamaño en donde sus lados homólogos son proporcionales y sus ángulos son respectivamente congruentes. El símbolo que se utiliza para denotar una semejanza es

Ejemplos de dos triángulos semejantes.

Postulados de semejanza:

1.- Dos triángulos son semejantes, si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales (LLL).

2.-Dos triángulos son semejantes, si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente (LAL).

3.- Dos triángulos son semejantes, si tienen dos de sus ángulos semejantes y un lado proporcional (AAL).

Un edificio de altura  tiene un cable metálico de 30m de longitud que está colocado desde la parte más alta hasta el piso, si una persona de 1.70m de altura se coloca de tal manera que el cable de su cabeza al piso mide 3m, calcular la altura del edificio.

Observe que se forman dos triángulos semejantes 

Los dos triángulos son semejantes por lo tanto son proporcionales sus lados:

Se dice que dos formas son semejantes si tienen la misma forma, pero no necesariamente del mismo tamaño. En otras palabras, uno puede ser una una ampliación del otro. También pueden tren diferentes orientaciones, es decir, estar girados. Las formas escaladas son triángulos semejantes. En dos triángulos similares con ángulos en posiciones equivalentes deben tener el mismo tamaño. Esto proporciona una manera de identificar triángulos semejantes.

No es necesario calcular todos los ángulos en dos triángulos semejantes. Si dos ángulos en un triángulo coinciden con dos ángulos de otro, entonces el tercer ángulo también debe ser el mismo en ambos, porque cada caso será 180º menos la suma de los otros dos ángulos. Si dos figuras tienen la misma forma y el mismo tamaño, se dice que son congruentes.

A continuación se exponen ejemplos de tranquilos semejantes:

¿Cuáles de estos triángulos son semejantes? 

Respuesta:

Los triángulos a, c y g son semejantes ya que tienen ángulos de 90º, 45º y por lo tanto el otro ángulo es de 45º. 

Los triángulos b y f son semejantes ya que tienen ángulos de 90º, 60º y el otro ángulo de 30º.

Los triángulos d, e y h son semejantes ya que tienen ángulos de 45º y 60º y por lo tanto, el otro ángulo es de 75º. 

Referencias

[1] Cuenca Eugenio M. (2006) Fundamentos de Fisiología. España: Thomson Editores Paraninfo S.A.

[2] Jiménez Douglas (2005) Geometría, el encanto de la forma. Caracas: Editorial CEC, S.A.