Texto universitario
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Módulo 6. Círculo y circunferencia
La circunferencia para los Griegos es la curva geométrica de mayor belleza, es casi imposible no imaginar sus aplicaciones, el hombre la ha usado desde el arte hasta la tecnología y cómo no mencionar la rueda. La circunferencia se obtiene cuando a un cono recto se le hace un corte perpendicular a su eje, por un plano. Euclides introduce la definición de circunferencia de manera intuitiva como un postulado: “Se puede trazar una circunferencia con centro y radio dado”.
Hilbert la define como el lugar geométrico de puntos en el plano que satisfacen cierta congruencia. En geometría plana, una circunferencia es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de manera tal, que siempre equidista de un punto fijo llamado centro.
Usando la última definición a continuación se muestra una circunferencia de centro C y radio r.
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El conjunto de puntos interiores a la circunferencia se llama círculo.
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6.1 Elementos
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Radio: es un segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia 
Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia 
y es perpendicular con el radio.
Diámetro: cuerda que pasa por el centro y es igual a la medida de dos radios 
.
Arco: línea curva formada por dos puntos de la circunferencia y todos los que se encuentran entre ellos que llamaremos extremos. Se denota con 
, se lee arco AB.
Secante: recta que corta en dos puntos a una circunferencia 
.
Tangente: recta que toca un punto de la circunferencia, el punto que toca se llama punto de tangencia H.
El perímetro de una circunferencia se calcula 
y su área 
.
6.2 Ángulos notables en la circunferencia
Central
Es un ángulo que tiene precisamente su vértice en el centro de la circunferencia, por lo tanto sus lados son radios.
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La medida de un ángulo central está dado por la medida del arco que está comprendido entre sus lados (radios) que se llama arco subtendido.
Así por ejemplo el siguiente ángulo mide 45º que es la medida del arco:
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Inscrito
Es el ángulo que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y sus lados cortan la circunferencia en dos puntos distintos al vértice.
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Teorema: todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados.
Ejemplos:
a) Considere que el 
está inscrito en la circunferencia como se muestra en la siguiente figura, calcular los tres ángulos interiores del triángulo.
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Observe que los tres ángulos interiores del triángulo son ángulos inscritos de la circunferencia, además la cuerda 
pasa por el centro, por lo tanto es también diámetro, de esto se puede deducir que 
es una semicircunferencia 
.
 15.16.52.png)
b) Calcular el valor del ángulo B si conocemos el arco  15.17.06.png)
 15.17.33.png)
Directamente podemos calcular el ángulo buscado ya que
Semi-inscrito
Cuando una recta tangente a una circunferencia tiene un punto en común con una cuerda, el ángulo que forman la tangente y la cuerda se llama ángulo semi-inscrito.
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Teorema: la medida de un ángulo semi-inscrito de una circunferencia, es igual a un medio de la medida del arco que subtiende el ángulo.
Ejemplo: si 
es tangente y 
¿cuánto mide el ángulo x?
 15.20.53.png)
El ángulo x es un ángulo semi inscrito, por lo tanto
Ex-inscrito
Es el ángulo que es adyacente a un ángulo inscrito
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Teorema: la medida de un ángulo ex-inscrito es igual a la medida del arco 
Ejemplo: Si 
, ¿cuánto vale x?
 15.24.18.png)
Por ser un ángulo ex-inscrito
Interior
Es el ángulo que está formado por dos cuerdas que se cortan
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Teorema: la medida de un ángulo exterior es la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.
Ejemplos: dadas las cuerdas 
que se cortan en F, calcular
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 15.26.41.png)
Exterior
Es el ángulo que está formado por dos secantes que se cortan en un punto fuera del círculo.
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Teorema: la medida de un ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semi diferencia de las medidas de los arcos que determinan los lados del ángulo en la circunferencia.
Ejemplo: si 
hallar el valor de 
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 15.28.54.png)
6.3 Cálculo de área y perímetro de una circunferencia
Si calculamos la medida alrededor de un círculo, nos indica la longitud o perímetro de la circunferencia, en Oriente próximo (s. VI a.C) del Libro de los Reyes, encontraron la relación que existe entre dicha medida y el diámetro de la circunferencia, encontrando que la relación era constante e igual a 3, los egipcios y babilonios encontraron un valor mayor que 3, Arquímedes en su obra “Sobre la medida del círculo” concluye que el valor de esa relación que ahora llamamos pi[1], se encontraba entre 
, Tolomeo lo calculó en 3.1416, los informáticos Yasumasa Kanada Y Daisuke Takahashi consiguieron la aproximación de pi con 6000 millones de decimales, en 2009 se consiguió una aproximación de más de dos billones de decimales, cabe mencionar que esta relación no es constante en geometrías que no son planas. Este número irracional aparece en las gotas de lluvia, en las burbujas de agua, en las estrellas, en los cálculos astronómicos, en este texto lo consideraremos como 3.14 para realizar cálculos.
 15.30.58.png)
Tenemos dos opciones para calcular el perímetro de una circunferencia de diámetro d, 
o bien como 
, 
.
Ejemplos:
a) Calcular el perímetro de la circunferencia cuyo radio mide 3 cm.
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b) Calcular el radio de la rueda de una bicicleta cuyo perímetro es 48 pulgadas.
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6.4 Cálculo de volúmenes y áreas
El área es una medida de la extensión de una superficie bidimensonal.
El volumen y el área están relacionados, por ejemplo hay que calcular el área de un espacio para instalar un equipo de aire acondicionado que cubra un volumen específico.
Si deseamos pintar un muro es necesario calcular el área a pintar, para hacer el cálculo del volumen de pintura que se necesita.
El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo, es una magnitud física y se puede medir de acuerdo al sistema de unidades que se utilice, en u otras equivalencias, lo puedes observar en las bebidas azucaradas donde se indica el contenido, el volumen nos ayuda a calcular la densidad de los líquidos ya que al dividir la masa entre el volumen de una sustancia calculamos su densidad, valiéndonos de este conocimiento podemos calcular la cantidad de gas necesaria para llenar un globo aerostático. En los cálculos en construcción es importante el volumen de agua que quieres almacenar en tu aljibe para partiendo de ahí hacer el cálculo de las dimensiones de los muros, o viceversa, el volumen de la caja en una guitarra es fundamental para que tenga buena acústica.
Prismas
Un poliedro es una porción del espacio limitada por polígonos.
Un prisma es un poliedro limitado por dos caras paralelas (bases) iguales una al lado opuesto de la otra, y por caras laterales que son paralelogramos.
Los elementos de un prisma son:
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Los prismas se clasifican por sus caras y por la figura de sus lados.
La siguiente figura muestra toda la clasificación de los prismas
 15.34.42.png)
Además tenemos los prismas:
 15.34.46.png)
Cálculo del volumen en un prisma
Se calcula primero el área de la base y se multiplica por la altura, a continuación se muestran las fórmulas para calcular el área de algunos polígonos
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Veamos algunos ejemplos de cálculo de volúmenes en prismas:
 15.35.31.png)
 15.35.48.png)
Figuras de algunos prismas:
 15.36.20.png)
Poliedros
Los poliedros están formados por dos caras que son polígonos y sus caras laterales que son paralelogramos, a continuación mediante la siguiente figura se muestran los elementos que los forman.
 15.36.43.png)
Paralepípedos
Los paralepípedos son cuadriláteros en los que sus lados opuestos son paralelos e iguales.
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Pirámides
La base de una pirámide es un polígono, sus caras son triángulos que concurren en un punto llamado ápice.
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Cono
Si giramos un triángulo rectángulo respecto de alguno de sus catetos la figura generada se llama cono, su base es circular.
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Cilindro
Si giramos un rectángulo respecto a uno de sus lados el cuerpo geométrico engendrado se llama cilindro.
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Esfera
Si hacemos girar una semicircunferencia respecto de su diámetro, el cuerpo geométrico engendrado se llama esfera.
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6.5 Conclusiones
Como se observó en el capítulo apenas es una pequeña introducción al amplio mundo de la geometría, se vieron algunas propiedades del triángulo, así como de algunos polígonos, además de calcular el área y el volumen de algunas figuras geométricas; es importante hacer énfasis en que la geometría plana tiene muchas aplicaciones científicas, tecnológicas y de uso diario, pero que existen otro tipo de geometrías que es importante investigues ya que aunque no cumplen con algunas propiedades de la geometría plana tienen muchas aplicaciones actualmente, por lo que te invitamos a profundizar en el maravilloso mundo de la geometría.
Referencias
[1] Arenas S. Concepción (2007) Matemáticas: fichas de la asignatura .España: Publicaciones Universidad de Barcelona.