La Integral
Técnica y Método
1.1. Técnicas de integración
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1.1. Introducción
Una de las ramas de las matemáticas es el cálculo, para su estudio generalmente se divide en dos partes,
denominada, cálculo diferencial y cálculo integral. El presente trabajo está enfocado al cálculo integral y
particularmente a las técnicas de integración.
Es interesante conocer aspectos históricos o antecedentes, porque nos brinda un contexto que permite
comprender y entender cómo llegamos a los conceptos actuales, por lo que a continuación mencionaremos
algunos aspectos que llevaron al desarrollo actual del cálculo integral.
El término cálculo se remonta a épocas antiguas, cuando el hombre primitivo tuvo la necesidad
de llevar a cabo la acción de contar, de ahí que, cálculo del latín calculus,
hacía referencia a pequeñas piedras que servían como herramienta para llevar a cabo el proceso de contar
y dieron comienzo al[1] desarrollo[2] de[3] las[4]
matemáticas[5].
El significado de cálculo ha evolucionado con el paso del tiempo, actualmente considerado un campo de las
matemáticas que hace referencia a dos conceptos relacionados: las derivadas y las integrales2.
El cálculo diferencial tiene como objeto de estudio, la derivada, concepto que permite analizar razones de cambio y
determinar rectas tangentes a curvas de[6] funciones[7].
Por su parte, el cálculo integral tiene como objeto de estudio, la integral,
concepto que permite recuperar funciones de las cuales se conocen sus razones de cambio,
así como la determinación de longitudes de curvas, áreas planas y volúmenes, entre otros6,7.
El cálculo en nuestra época es considerado como una herramienta matemática de análisis y
modelación, que se aplica en diferentes áreas del conocimiento como física, química, biología,
economía e ingeniería entre otras[8].
Es en la Grecia antigua donde tiene origen el cálculo integral, se les atribuye ser
los primeros en llevar a cabo la idea de dividir un cuerpo en partes más simples,
los problemas fundamentales que plantearon dieron pauta al desarrollo del
- Obtener[11] el área bajo una curva.
- Determinar la recta tangente a curvas, en un punto determinado.
- La velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento.
- Problemas de optimización, esto es, máximos y mínimos de una función.
El problema del cálculo de áreas es el antecedente histórico del cálculo integral.
Los griegos Eudoxus (390-337a.C.) y posteriormente Arquímedes (287-212 a.C.),
utilizaron un procedimiento para calcular áreas denominado método del agotamiento,
también conocido como método de eliminaciones sucesivas o método exhaustivo.
Este método es de aproximación geométrica, aplica el principio de la subdivisión infinita.
Para calcular el área de una curva, el método consistía en inscribir polígonos dentro de la figura, y
circunscribir polígonos fuera de ella; después aumentar el número de lados de los polígonos, como
se muestra en las siguientes figuras[12]:
Si se considera que 
representa el área del polígono inscrito con 
lados, se aprecia que conforme
aumenta el número de lados, el área 
se aproxima cada vez más y más al área del círculo, es por ello que se dice que el área del círculo es el
límite de las áreas de los polígonos inscritos.
Matemáticamente, se escribe:
Este concepto es similar al cálculo de áreas bajo una curva, utilizado en cálculo integral, como se observa en las
figuras siguientes:
Para obtener el área bajo la curva, en un intervalo dado (a, b) se realiza una aproximación, sumando las áreas
de los rectángulos, conforme se va reduciendo la base de dichos rectángulos, el límite de las sumas de las
áreas de cada rectángulo se acerca al valor del área deseada, matemáticamente:
El símbolo ∫ (una s alargada) representa a la integral, se lee la integral de, fue Leibniz quien lo introdujo
en el año 1675[13].
La integral no solo permite calcular áreas, también es utilizada para calcular longitudes de curvas,
volúmenes, trabajo realizado por una fuerza variable, centros de gravedad, probabilidades, etcétera.
Personajes que a lo largo de la historia han contribuido con el desarrollo del cálculo son varios,
destacan: Eudoxus (390-337 a.C.), Arquímedes (287-212 a. C.), Bonaventura Cavalieri (1598-1647),
Johannes Kepler (1571-1630), John Wallis (1616-1703), René Descartes (1596-1650),
Pierre de Fermat(1601-1665), e Isaac Barrow (1630-1677)11.
Se considera a Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) los creadores del cálculo,
ya que en el siglo XVII, fueron los que de forma independiente sintetizaron los resultados y métodos
previamente desarrollados por sus[14] antecesores[15].
En la frase famosa de Newton: “Si he visto más lejos que otros hombres, es porque me he subido
en los hombros de gigantes”. Se cree que hacía referencia a dos grandes matemáticos: Pierre Fermat
e Isaac Borrow (profesor de Newton)12.
Personajes posteriores a Newton y Leibniz continuaron el desarrollo del cálculo, en el siglo XVII,
Leonhard Euler (1707-1783) y Joseph Louis Lagrange (1736-1813), en el siglo XIX destacan,
Agustín Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard Riemann (1826-1866) y Karl Weierstrass (1815-1897); y en
el siglo XX Henri Lebesgue (1875-1941) y Abraham Robinson (1918-1974)14.
El cálculo en matemáticas ha sido una de las creaciones más grande de la humanidad, considerado hoy,
una herramienta poderosa en prácticamente cualquier campo del conocimiento. Gracias al cálculo,
el mundo ha cambiado y avanzado a grandes pasos.
[1] Santiago Z. A.C. & Santiago P. M.J. Resúmenes de matemáticas II con notas históricas.(2011).
España. Visión Libros.
[2] Maor E. e:historia de un número. (2006) México: Conaculta
[3] Coto G. A. (2010). La aventura del cálculo. ISBN 978-9-84-414-2520-0.
[4] Zill, Dennis G. (1987). Cálculo con Geometría Analítica. México: Grupo Editorial Iberoamericana.
[5] L. Salas S., Hille E. & J. Etgen G. Calculus: una y varias variables. V1. (2002). México. Reverté
[6] Engler A. a.t (1977). El cálculo diferencial. Argentina. ISBN: 987-508-549-9
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[8] Clifford A. Pickover (2012) El libro de las matemáticas. Nueva York: Sterling Publishing
[9] Barrantes, Hugo. (2003) Calculo integral en una variable. Costa Rica: EUNED
[10] Casteleiro, José M. & Paniagua R. (2002). Cálculo integral. Madrid: ESIC Editorial.
[11] Cuellar J.A. (2012). Matemáticas V. México: McGraw-Hill.
[12] Stewart J. (2010).CÁLCULO conceptos y contextos. México: Cengage learning.
[13] Apostol, Tom. (2005) Calculus I. México: Reverte.
[14] Stewart I. (2009). Historia de las matemáticas: en los últimos 1000 años. España: Crítica
[15] Flores Espinoza Rubén ET AL. (2008) Fundamentos del cálculo. México: Garabatos. ISB:970-9920-18-5
Autores:
Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Mónica Rico Reyes
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán