La Integral
Técnica y Método
Ejercicios resueltos de técnicas de integración
1.-
Solución:
Para la función 
, sustituimos 
, y 
para la integral 
, la dividamos:
Las integral la resolvemos como sumas de integrales:
Para la integral 
, substituimos s=u+9 y ds=du:
Integramos 
como log(s):
La integral de la contante:
Sustituimos para s=u+9:
Substituimos para 
:
Por tanto la solución es:
2.
Solución:
Para la integral 
, subtituimos 
, y 
:
Pala integral de 
, es 
:
Sustituyendo 
, por tanto la solución es:
3.
Solución:
Para la función 
, subtituimos u=x+1 y du=dx:
Para integrar 
, substituimos 
, y 
:
Para integrar 
, se hara por partes, 
, por tanto:
Integrando 
:
Sustituyendo 
:
Sustituyendo u=x+1:
por tanto la solución es:
Sustituyendo
Entonces
Multiplicando numerador y denominador de sec(u) por tan(u) +sec(u)
Entonces
ahora sustituyendo s
tenemos sustituyendo u tenemos
Sustituyendo
entonces tenemos
escribiendo
entonces
integrando la suma termino a termino
sustituyendo en la primer integral
entonces
sustituyendo (s) y (u)
Haciendo división larga
Sacando el factor 4 desde el denominador
Para la segunda integral sustituir
Entonces
Integrando
Al separar la fracción
Integrando
Usando fracciones parciales
Integrando la suma termino a término y sacando factores
Para la primer integral sustituir
y para la tercera integral sustituir
ahora integrando
Sustituyendo (u) y (s)
Separando la fracción y sacando los factores
Para la primer integral sustituir
y sacando el factor 4 de la segunda integral
Entonces sustituir para la segunda integral
Obtenemos
Integrando
Sustituyendo (u) y (s)
Sustituyendo
Entonces
factorizando el denominador
haciendo división larga
integrando a la suma termino a termino
reescribiendo
Entonces
integrando a la suma termino a término y sacando factores
para la primer integral sustituir
entonces
Para la segunda integral completar el cuadrado
Sustituir
entonces
Sacando el factor 27/4 del denominador
Sacando los factores constantes
Sustituyendo
Entonces
integrando
para la tercer integral sustituir
entonces
integrando lo restante+C
sustituyendo (u), (v), (w), (p)
Sustituir
Entonces
integrando
sustituyendo (u)
Integrando por partes donde
Entonces
Nuevamente integrando por partes donde
Entonces
Integrando por partes donde
entonces
Para la integral sustituir
entonces
Escribir 
como
entonces
Integrando la suma parte por parte
integrando
sustituyendo (u) donde
Expandiendo la integral multiplicando tenemos
Integrando la suma termino a término y sacando factores constantes
Integrando
Usando fracciones parciales tenemos
Integrando la suma termino a termino
Integrando usando cambio de variable
Integrando por partes donde
Entonces
Haciendo división larga se tiene
Sacando el factor 4 del denominador
Sustituir
entonces
integrando
sustituyendo (u)
Sustituir
Entonces
sustituyendo (u)
Usando fracciones parciales tenemos:
Sacando constantes integrando termino a termino
Para las ultimas 2 integrales usar el cambio de variable donde
obteniendo
integrando
sustituyendo (u)
Completando el cuadrado
Sustituir
entonces
Sustituir 
entonces
Sustituyendo (u) y (s) tenemos
Cancelando términos comunes en numerador y denominador
Usando fracciones parciales tenemos:
Integrando la suma termino a termino y sacando factores constantes
Para las primeras dos integrales usar el cambio de variable donde
y para la ultima integral utilizar el cambio de variable donde
Entonces
integrando
Sustituyendo (s) y (u)
simplificando
Escribir
entonces
Integrando
Usando la identidad
entonces
sustituir
entonces
Sustituir
entonces
sustituyendo (s) y (u)
Usar la identidad trigonométrica
entonces
Sustituir
entonces
Sustituyendo (u)
Tomar la integral
luego integrar por partes
Donde
entonces
Multiplicar denominador y numerador de la integral por
Entonces
Sustituir
Integrar
Sustituyendo (u)
Integrar por partes donde
Entonces
Sustituir
entonces
Sustituyendo (u)
Usar la identidad trigonométrica
Entonces
Sustituir
Entonces
Integrando
sustituyendo (u)
Tomar la integral
usar la identidad trigonométrica
Entonces
Reescribir la primera integral en términos de seno y coseno
Sustituir
entonces
Para la segunda integral multiplicar denominador y numerador por
Entonces
sustituir
entonces
sustituyendo (u) y (s)
Sustituir 
entonces
Sustituir
Entonces
sustituyendo (s) y (u)
Expandiendo la integral tenemos
para la primera integral
Hacer por partes donde
entonces
Las dos integrales restantes son iguales pero de diferente signo por lo
tanto se cancelan
Dando como resultado
Sustituir
entonces
Usando la fórmula de reducción resulta
ahora reescribimos la cot en términos de sen y cos entonces
sustituir
Entonces
Sustituyendo (s) y (u)
Expandiendo la integral
Integrando
Cambiar todo a sen y cos
Sustituir
lo que nos produce un límite inferior
Y un nuevo límite superior
Entonces
Multiplicamos el orden de los limites de integración ya que el inferior es
mayor que el superior, entonces multiplicamos por -1 ,
Tenemos
Integrando
No aparece con pasos intermedios así que la solución a la integral indefinida es
y el resultado a la integral definida es:
Sustituir
luego transformamos la integral usando las sustituciones
Entonces
Simplificando
Cancelando términos comunes
usando fracciones parciales
Integrando
sustituyendo (u)
Aplicando fracciones parciales
Realizar el cambio de variable simple para cada integral y evaluar los nuevos limites donde
entonces
Integrando
Aplicando fracciones parciales
Realizar el cambio de variable simple para cada integral y evaluar los nuevos limites donde
entonces
Integrando
Sustituir
Entonces
Sustituir
entonces
Haciendo división larga
Hacer cambio de variable simple para integrar entonces
Regresando a términos de x
Evaluando los limites da 
Hacer por partes donde
Entonces
Nuevamente integramos por partes donde
entonces
la integral restante es idéntica a la original entonces las pasamos al mismo lado
finalmente despejando
Sustituir
Entonces
integrando:
sustituyendo (u)
Sustituir
Entonces
para resolver esta integral usar la formula
En este caso los coeficientes de u son 1 entonces sustituyendo (u)
Sustituir
entonces
Integrar por partes donde
entonces
Integrando:
Sustituyendo
Entonces
Integrando por partes donde:
Entonces
sustituyendo (u)
Sustituyendo
entonces s
ustituyendo (u)
Usando la identidad trigonométrica donde
entonces
sustituir
entonces
integrando:
sustituyendo (u)
Escribir
y
Entonces
Sustituir
entonces
sustituyendo (u)
Completando el cuadrado
sustituir
Entonces
hacer el cambio trigonométrico
entonces
usando la fórmula de reducción para la secante obtenemos
integrando la ultima integral
Sustituyendo (s) y (u)
Completar el cuadrado
sustituir
Entonces
realizar el cambio trigonométrico
entonces
Integrando:
sustituyendo (s)
Usar la identidad trigonométrica
entonces
sustituir
entonces
integrando:
sustituyendo (u)
Sustituir
entonces
usando la fórmula de reducción para el coseno:
para la integral restante escribir
entonces
expandiendo la integral
haciendo un cambio de variable
Donde
entonces
Integrando:
sustituyendo (u) y (s)
Sustituir
entonces
haciendo división larga
integrar y para la integral fraccionaria sustituir
entonces
Sustituyendo (u) y (s)
no muestra pasos intermedios
Aplicando fracciones parciales
Para la primer integral hacer el cambio
entonces
para la segunda integral nos da igual a
entonces
ahora hacemos el cambio de variable
entonces
integrando
ustituyendo(u) y (s)
Sustituir
Entonces
usar la identidad trigonométrica
Entonces
Multiplicar la primera integral por tan u +sec u (numerador y denominador)
Sustituir
Entonces
integrando
sustituyendo (u) y (s)
Usar la identidad trigonometrica
Entonces
para la primer integral integrar por partes donde
entonces
sustituir
entonces
integrando
sustituyendo (u)
Expandiendo la integral
hacer por partes donde
entonces
integrando por partes donde
entonces
integrando
Reescribir la integral como
Sustituir
entonces
Integrando por partes donde:
entonces
Integrando
sustituyendo (u)
Sustituir
entonces
usando la identidad trigonometrica
tenemos
Integrando
sustituyendo (u)
Sustituir
entonces
Integrando
sustituyendo (u)
entonces el resultado es
Sustituir
luego transformar la integral usando las
sustituciones
Entonces
simplificando
completando el cuadrado
sustituir
Entonces
sacando el factor fuera del denominador
sustituir
entonces
integrando
regresando a términos de (x)
obteniendo como resultado
Integrando por Partes donde:
Entonces
Sustituir
entonces
Integrando
sustituyendo (u)
solución no disponible en wólfram
Sustituir
entonces
sustituir
Entonces
sacando el factor -1 del denominador
Integrando
regresando a términos de x
lo que da como resultado
Rescribir la integral como:
Sustituir para la primera integral
entonces
para la segunda integral completar el cuadrado
sustituir
entonces
integrando
sustituyendo (u) y (s)
Tomar la integral
sustituir
Entonces
usar la identidad trigonométrica
Entonces
sustituir
Entonces
Expandiendo
integrando
regresando a términos originales
Sustituir
entonces
usar la identidad trigonométrica
Entonces
sustituir
entonces
Integrando
regresando a términos originales
entonces esto da como resultado
Tomar la integral
Pasar a sen y cos la primer integral
Sustituir
entonces
Integrando
sustituyendo (u)
Tomando en cuenta la identidad
Sustituir
entonces
Integrando
sustituyendo (u)
Expandiendo la integral tenemos
La primer integral la hacemos por partes donde
Entonces
Haciendo la segunda integral por partes donde
Entonces
finalmente
Usando la identidad trigonométrica
Entonces
Expandiendo la integral tenemos
integrando por partes donde
entonces
sustituir
entonces
integrando
sustituyendo (u)
Tomar la integral
sustituir
entonces
Integrando
sustituyendo
Racionalizando la integral
Entonces
sustituir
Entonces
integrando
sustituyendo (u)
Usando la identidad trigonométrica
Entonces
Sustituir
entonces
Integrando
sustituyendo (u)
Sustituir
entonces
sustituir
Entonces
usando fracciones parciales
Expandiendo la integral
sustituir
entonces
Integrando
regresando a términos de (t)
simplificando
Sustituir
entonces
integrando
Sustituyendo (u)
Sustituir
entonces
integrando por partes
entonces
sustituyendo (u)
Integrar por partes donde
entonces
Sustituyendo
entonces
Integrando
sustituyendo (u)
___________________________
Autores:
Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Mónica Rico Reyes
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán