La Integral

Técnica y Método

1.9. Integración por fracciones parciales

Este método se aplica cuando la integral se hace respecto a una función racional:

Donde representan polinomios, de manera tal que tiene grado menor que .

En este método de integración se presentan varios casos.

Caso I. El denominador tiene únicamente factores de primer grado y no se repiten.

Esto permite que a cada factor le corresponda una fracción parcial como se indica:

lo que implica que la constante debe determinarse.

1.

2.

Finalmente:

Caso II. El denominador tiene únicamente factores de primer grado y algunos se repiten.

En este caso si se tiene un factor de la forma:

Se lleva a cabo una suma desarrollada de la siguiente forma:

De manera que habrá que determinar todas las constantes:  

3.

Observando el denominador, se concluye que hay tres veces el mismo denominador:

Entonces se debe desarrollar una suma como sigue:

Se concluye que:

4.

Al factorizar el denominador se observa que el factor , es repetible: 

Por lo tanto:

Caso III. El denominador tiene factores de segundo grado y ninguno se repite.

En este caso se considera que para un factor de la forma: se le asocie una

fracción con la forma:

Así, en cada fracción será necesario determinar las constantes:

5.

Al factorizar el denominador del integrando tenemos:

Lo que resulta en un factor lineal y en un factor cuadrático , el cual no se puede

factorizar nuevamente. Por lo tanto las fracciones parciales serán:

Finalmente:

6.

Se puede observar que el término cuadrático no se puede factorizar, por lo cual,

las fracciones parciales correspondientes serán:

Aplicar la fórmula (19)

Sustituyendo en el resultado parcial obtenido:

Finalmente el resultado es:

Caso IV. El denominador tiene solo factores de segundo grado y algunos se repiten.

Cuando se tiene un factor cuadrático de la  forma.

Las fracciones parciales se obtienen de una suma desarrollada de la forma:

Teniendo que determinar las constantes:

7.

Finalmente el resultado queda así:

8.

Se observa que el término cuadrático es repetible, por lo que empleando fracciones

parciales, se tiene:

Finalmente el resultado es:

Autores:

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Mónica Rico Reyes
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán