Texto universitario
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Capítulo 6
6. La teoría del conocimiento
La epistemología, en síntesis, se refiere a actitudes intelectuales del habla proposicional. Una actitud proposicional es una actitud que una persona adopta hacia una proposición, o cláusula (cadena de proposiciones) en cuanto a su verdad, su justificación, su relación con lo real, su apoyo en los datos, sus criterios ontológicos, cálculos, demostraciones, fundamentos; y las discute frente a todos apoyándose en la literatura, inferencias causales, y la ciencia de datos. Si bien se ha derramado mucha tinta que esta actitud es la forma ilustrada del humanismo científico, una proposición es una entidad lingüística abstracta expresable por sentencias de declaración y capaz de ser verdadera-falsa (binaria) o plausible en un grado de verdad. Por lo que decimos, quienes hablan o escriben con proposiciones, (generalmente el discurso científico) intentan decir verdad, aunque el sesgo cognitivo está allí, y solo una actitud de humildad intelectual permite el éxito de un discurso proposicional que hace progresar a un pensamiento a la excelencia.
Ya tenemos edad suficiente para que no nos administren que información podemos conocer y cual es necesario interrumpir en su comunicación. Los seres humanos que creemos en el humanismo científico adoptamos el discurso proposicional como la fuente de energía viable de la Ilustración. Mientras que algunas actitudes proporcionales son dirigidas a cambiar el mundo o representarlo. La epistemología se centra en el último tipo de actitud proposicional: explicar el mundo, hacerlo comprensible hasta donde para la mente humana es posible. Tales actitudes son creencia y conocimiento. La creencia es en un cierto sentido una actitud puramente representativa de procesos de justificación. Cuando atribuimos una creencia a una persona, simplemente estamos tratando de describir cómo ella toma el mundo para su ser, es decir, como ella justifica su verdad. Una atribución de creencia por si misma no indica ningún efecto emocional hacia la proposición, ni que en ella la persona posea la justificación de la verdad que sostiene su decir. Sin embargo, la creencia no es la única representación del mundo; una persona puede estar segura de que una proposición es verdadera, o no creer en ella en particular. Los filósofos a menudo discuten la clase de actitud doxástica, en las que caen la creencia, la incredulidad y la certeza. La epistemología bayesiana se centra en un tipo de actitud doxástica conocida como grado de creencia (plausibilidad), grado de confianza o credibilidad. A plausibilidad, confianza y credibilidad, se les llama credenciales de la proposición.
En 1950, Rodulf Carnap distingue los conceptos clasificatorios, comparativos y cuantitativos de las creencias binarias[1]: conceptos clasificatorios son aquellos que sirven para categorizar y clasificar cosas o casos. Los conceptos cuantitativos, son aquellos que sirven para caracterizar cosas o eventos en una descripción numérica. Los conceptos comparativos, sirven para la formulación del resultado de una comparación en forma de declaración más o menos sin el uso de valores números.
En el famoso ejemplo de Carnap, este describe el aire en una habitación como caliente o frío, para ello emplea conceptos clasificatorios. Caracterizando una habitación como más cálida que otra utilizando un concepto comparativo. La escala de temperatura describe el calor de una habitación con un concepto cuantitativo. La actitud doxástica puede variar en un espectro que va desde la certeza absoluta hasta el escepticismo completo. En el extremo de la certeza, una persona tiene una actitud doxástica fuerte, creyendo firmemente en sus propias opiniones y considerándolas verdaderas y seguras. Por otro lado, en el extremo del escepticismo, una persona tiene una actitud doxástica débil, mostrando dudas y cuestionamientos constantes sobre sus creencias, y siendo consciente de la posibilidad de error. Al preguntar a una inteligencia artificial…ChatGPT responde sobre cómo es su acto de “comprender” nos advierte de este mecanismo doxástico:
“Es importante tener en cuenta que mi comprensión se basa principalmente en patrones y correlaciones estadísticas en el texto, y no tengo una comprensión profunda o conciencia de los conceptos abstractos o contextos específicos fuera de lo que aprendí durante mi entrenamiento[2]”.
En este contexto de máquinas y humanos, parecen destinados a aprender juntos. Tanto nuestra charla cotidiana sobre las actitudes doxásticas como nuestra teorización filosófica sobre ellas utilizan conceptos clasificatorios, comparativos y cuantitativos. Los conceptos clasificatorios incluyen creencia, incredulidad, suspensión del juicio y certeza. Las actitudes doxásticas recogidas por estos conceptos son monásticas; cada uno se adopta hacia una sola proposición. Además, dada cualquier proposición, el agente y su actitud doxástica clasificatoria en particular, atiende la proposición o no la atiende. Por lo tanto, las actitudes doxásticas clasificatorias a veces se llaman “binarias”. Un actitud comparativa, por otro lado, se adopta hacia un par ordenado de proposiciones. Por ejemplo, estoy más seguro de que la vacuna es una fuente de protección viable para COVID-19. Una actitud cuantitativa asigna un valor numérico a una sola proposición; mi amigo biólogo genético está 90% seguro de que la vacuna es viable.
Hasta las últimas décadas, gran parte de la epistemología giraba en torno a conceptos clasificatorios. Piense en los debates sobre la justificación de la creencia, o sobre las condiciones necesarias y suficientes para el conocimiento. Este no fue un enfoque exclusivo, sino más bien una cuestión de énfasis. Los llamados epistemólogos “tradicionales” o “convencionales” ciertamente emplearon términos comparativos y cuantitativos[3]. Además, sus adscripciones de actitud clasificatoria fueron sutilmente apoyadas por varios modificadores: una creencia por ejemplo, podría ser reacia, intransigente o profundamente sostenida. Sin embargo, los epistemólogos bayesianos ponen mucho más énfasis en actitudes cuantitativas en las creencias.
¿Porque estar interesados, porque deberíamos poner atención en la forma que gestionamos las creencias? Para ayudar a nuestra compresión, hoy en día casi todo el mundo utiliza una mezcla de conceptos doxásticos clasificatorios, comparativos y cuantitativos para describir las vidas racionales de los agentes en el Crisol de pensadores. Con valores doxásticos graduados se ayuda a explicar la preponderancia de las adscripciones cuantitativas de la actitud en la epistemología actual.
Un amigo cree que la vacuna le protegerá de COVID-19. Un amigo cree que su auto se detendrá cuando presione el pedal de freno. Él esta dispuesto a apostar su vida en esta última creencia, y de hecho lo hace varias veces al día durante su viaje por la ciudad. Esta decisión que está dispuesto a tomar, parece que debería atribuirse a una diferencia entre sus actitudes doxásticas hacia las dos proposición de que el pedal del freno detendrá el auto y la vacuna le protegerá. Un Binarista simple, que está dispuesto a atribuir solo creencias, incredulidades y suspensiones, no puede distinguir ninguna diferencia entre las actitudes doxásticas de mi amigo hacia las proposiciones. Una vez que el binarista simple dice que mi amigo cree en ambas proposiciones, ha dicho lo que tiene que decir. El “binarista simple" podría referirse a alguien que se adhiere a esta visión binaria de manera rígida y sin considerar las complejidades o la existencia de posiciones intermedias en una cadena causal.
Ahora supongamos que nuestro amigo lee sobre alguna nueva investigación sobre vacunas, la investigación revela nuevas dificultades con el diseño para nuevas mutaciones, lo que hará que la virulencia sea menos efectiva. Después de enterarse de esta investigación, todavía cree que la vacuna es viable. Sin embargo, parece que esta evidencia debería causar algún cambio en su actitud hacia la proposición de que la vacuna es viable. Sin embargo, el binarista simple carece de las herramientas para atribuir tal cambio; nuestro amigo creyó la proposición antes, y todavía la cree ahora.
¿Qué muestran estos dos ejemplos? El binarista simple no dice nada falso, es cierto que mi amigo cree en las proposiciones en cuestión en los momentos relevantes. Pero los recursos descriptivos del binarista simple no parecen lo suficientemente detallado como para capturar algunas cosas adicionales que queremos decir sobre la actitud doxástica de nuestro amigo. Ahora, tal vez haya alguna forma complicada en que el binarista simple podría explicar estos ejemplos dentro de su esquema clasificatorio. O tal vez un binarista complejo con actitudes más clasificatorias en su repertorio que el binarista simple podría hacer tal truco. Pero es más natural responder a estos ejemplos con comparaciones de confianza: mi amigo está más seguro de que sus frenos funcionarán que de que la vacuna es viable; al leer la nueva investigación lo hace seguro que la viabilidad de la vacuna es como antes. Nuestras actividades doxásticas comparativas finas representan una manera que se sienten apropiadas para este ejemplo.
Ahora hemos visto dos ejemplos en los que el binarista simple tiene problemas para describir las actitudes doxásticas de un agente. Pero además de la adecuación descriptiva, a menudo queremos trabajar con conceptos que figuran en normas plausibles. Históricamente, los epistemólogos a menudo se vieron obligados a trabajar con actitudes doxásticas comparativas y cuantitativas debido a sus dificultades para enmarcar normas racionales para la creencia binaria.
Las restricciones normativas más comúnmente consideradas para la creencia binaria son:
Consistencia de creencias: la racionalidad requiere que el conjunto de proposiciones que un agente cree, son lógicamente consistentes (sin contradicción lógica).
Cierre de creencias: si algún subconjunto de las proposiciones que un agente cree implica una proposición adicional, la racionalidad requiere que el agente crea esa proposición adicional también, es decir la inferencia de conclusión.
La consistencia de creencias y el cierre de creencias se propone como condición necesaria para que el conjunto de creencias de un agente sea racional. Por otro lado, la racionalidad práctica se refiere a las conexiones entre actitudes y acciones. ¿Qué tipo de restricciones impone la racionalidad práctica a las actitudes? Si las preferencias de un agente no satisfacen ciertos axiomas, esto puede conducir a un desastroso curso de acciones. Podríamos argumentar sobre esta base que la racionalidad práctica requiere las preferencias de los agentes para satisfacer esos axiomas. Si las credenciales de un agente no satisfacen los axiomas de probabilidad, su comportamiento apuesta susceptible a un problema conocido como “libro holandés”. Este hecho se ha utilizado para argumentar que la racionalidad práctica requiere credibilidad para satisfacer los axiomas de probabilidad.
Tal vez la racionalidad práctica proporciona todas las restricciones racionales que existen. La respuesta estándar a esta propuesta invoca la apuesta de Pascal. Pascal argumentó en 1670, que es racional creer la proposición de que el Dios cristiano existe[4], sí esa proposición es cierta, es por haber creído que producirá grandes beneficios en la otra vida. Si la proposición es falsa, sino la creyó o no tendrá consecuencias tan dramáticas en la otra vida. Suponiendo que Pascal haya evaluado estas consecuencias correctamente, parecen proporcionar algún tipo de razón para mantener las creencias religiosas. Sin embargo, si la evidencia de un agente apunta mucho más fuertemente al ateísmo que a la existencia de una deidad, parece que hay un sentido de racionalidad en el que la creencia religiosa sería un error racional.
La racionalidad teórica, un estándar que evalúa las actitudes representativas en su capacidad como representaciones (qué tan bien lo hacen al representar el mundo, responden a la evidencia, etc.) sin considerar cómo influyen en la acción. La consistencia de las creencias y el cierre generalmente se ofrecen como requisitos de la racionalidad teórica. La idea es que un conjunto de creencias falla como representación responsable del mundo si se contradice a sí mismas o no incluyen sus propias consecuencias lógicas.
Las versiones de Consistencia de Creencia y Cierre que hemos mencionado son bastantes inverosímiles como requisitos racionales genuinos. El cierre de creencias, por ejemplo, requiere que un agente crea cualquier proposición arbitrariamente compleja que implique lo que ya se cree, incluso si nunca se ha acercado a considerar esa proposición. Y dado que cualquier conjunto de creencias tiene infinitas consecuencias lógicas, el cierre también requiere que los agentes racionales tengan infinitas creencias. La consistencia de creencias, mientras tanto, prohíbe a un agente mantener un conjunto de creencias lógicamente inconsistentes, incluso si la inconsistencia es tan recóndita que es incapaz de reconocerla. Uno podría encontrar estos requisitos demasiado exigentes para ser restricciones racionales.
En este contexto, Kyburg plantea el paradigma de lotería en 1961[5]: una lotería justa ha vendido un millón de boletos. Debido a las bajas probabilidades, un agente que ha comprado un boleto cree que su boleto no ganará. Este también cree, que otro boleto comprado en la lotería, no ganará. Sin embargo, este agente cree que al menos un boleto comprado ganará. Las creencias atribuidas al agente en esta historia parece racional. Sin embargo, estas creencias son lógicamente inconsistentes: no pueden creer consistentemente que cada boleto perderá. Entonces, si las creencias del agente en la historia son racionalmente permisibles, tenemos un contraejemplo a la consistencia de creencias. Además, si nos centramos solo en las creencias del agente sobre los boletos individuales, ese conjunto de creencias implica que ninguno de los boletos ganará. Sin embargo, parece irracional que el agente crea que ningún boleto ganará. Así que la Lotería también proporciona un contraejemplo al cierre de creencias.
Algunos defensores de la consistencia de creencias y el cierre han respondido que, es estrictamente hablando, es irracional que el agente de la lotería crea que su boleto perderá. Si es cierto, esto resuelve el problema. Pero es difícil resolver la paradoja del prefacio de Makinson (1965) de una manera similar[6]: “escribes un largo libro de no ficción con muchas afirmaciones en su texto principal, cada una de las cuales crees”. En los agradecimientos al comienzo del libro escribes: “si bien estoy en deuda con los que figuran aquí por su inestimable ayuda, estoy seguro de que sigue habiendo errores en el texto principal, de los cuales asumo la responsabilidad exclusiva”.
Muchos autores escriben tales declaraciones en los prefacios de sus libros, es difícil negar que es racional que lo hagan. También es muy plausible que los autores de no ficción crean el contenido de lo que escriben. Sin embargo, si la concesión de que hay al menos una falsedad en este texto principal, entonces la creencia afirmada en el prefacio es lógicamente inconsistente con la creencia en todas las afirmaciones del texto.
La Lotería y el Prefacio plantean un tipo diferente de problemas a nuestros ejemplos. Los ejemplos no mostraron que las descripciones en términos de creencias clasificatorias fueran falsas; simplemente sugirieron que las descripciones clasificatorias no capturaran todos los aspectos importantes de la vida doxástica. La Lotería y el Prefacio, sin embargo, están destinados a demostrar que la consistencia de creencias y el cierre de creencias, son los principios normativos más naturales para creencias binarias, que son en realidad falsos. Una extensa literatura ha crecido de la Lotería y el Prefacio, tratando resolverlos de varias maneras. Una podría negar que los conjuntos de creencias descritas en las paradojas sean de hecho racionales. Uno podría abandonar la consistencia de creencias y/o el cierre de creencias por restricciones normativas alternativas sobre la creencia binaria. Todas estas respuestas han sido probadas, y no podría esperar adjudicar sus éxitos y fracasos aquí.
Para nuestros propósitos el punto crucial es que, si bien sigue siendo controvertido cómo cuadra las normas para la creencia binaria con la Lotería y el Prefacio, las normas para la credibilidad racional no tienen ningún problema con esos ejemplos en absoluto. Las normas Bayesianas cuentan una historia natural e intuitiva sobre las credenciales racionales a adoptar en las situaciones de Lotería y Prefacio. La finalidad con la que el bayesianismo maneja casos que son paradójicos para las normas de la creencia binaria que han sido vistas como una gran ventaja para la epistemología centrada en la credibilidad.
Es importante que no todas las clasificaciones de confianza estén completas; puede haber algunos pares de proposiciones para las cuales la clasificación no dice nada sobre las confidencias relativas del agente. La clasificación de nuestra proposiciones que creemos ciertas, gradan silencio sobre si tenemos más confianza en A o B. Esto refleja una verdad importante sobre nuestras actitudes doxásticas: si bien tenemos confianza en el calentamiento global y no en la eficacia de los frenos de nuestro auto, puede ser realmente incapaz de hacer una comparación de confianza entre dos temas no relacionados en su semántica. En otras palabras, puede ver las proposiciones de calentamiento y las proposiciones de frenado del auto como inconmensurables por no ser relacionadas. Una norma típica para comparaciones de confianza es la vinculación comparativa: para cualquier par de proposiciones tales que la primera implica la segunda, la racionalidad requiere que un agente esté al menos tan seguro de la segunda como de la primera.
La comparación comparativa es intuitivamente plausible. Por ejemplo, sería irracional tener más confianza en la proposición de que puede volar, sabiendo que no es superman. Aunque no es un norma simple, la vinculación comparativa tiene una serie de consecuencias sustantivas para observar redes causales. Por ejemplo, suponiendo que estamos trabajando con una relación de vinculación clásica en la que cualquier proposición implica una tautología y cada tautología requiere que un agente racional tenga la misma confianza de cada tautología y al menos tenga seguridad de cualquier tautología como lo está de cualquier otra cosa. La vinculación comparativa también requiere que un agente racional esté igualmente seguro de cada contradicción.
6.1 Epistemología bayesiana
Cada punto de vista de una epistemología bayesiana se respalda en dos principios:
1. Los agentes tienen actitudes doxásticas que pueden representarse de manera útil asignando números reales a las afirmaciones (creencias).
2. Los requisitos racionales sobre esas actitudes doxásticas pueden ser representados por restricciones matemáticas en las asignaciones de números reales estrechamente relacionados con el cálculo de probabilidad.
El primero de estos principios es descriptivo, mientras que el segundo es normativo, lo que refleja el hecho de que las epistemologías bayesianas tienen compromisos tanto descriptivos como normativos. ¿Qué más podemos ganar al pasar a una representación numérica de la confianza? Las comparaciones de confianza clasifican las proposiciones, pero no pueden decirnos cuán relativamente grandes son las brechas entre las entradas en el conjunto. Sin conceptos cuantitativos no podemos decir que un gente tiene más confianza en una proposición que en otra, pero no podemos decir además cuánto más seguro está de alguna de ellas.
La metafísica de las actitudes doxásticas plantea una plétora de preguntas, ¿qué es, si es que tiene algo, para un agente poseer genuinamente una actitud mental más allá de ser útilmente representable como tenerla? Si un agente puede tener creencias binarias y grados de creencia en el mismo conjunto de proposiciones, ¿cómo se relacionan esto en diferentes tipos de actitudes doxásticas? Esta última pregunta ha generado un gran debate, que no podemos resumir aquí. Sin embargo, queremos mencionar algunas de las cuestiones generales y las protestas más conocidas.
Hay dos convenciones filosóficas diferentes para emplear los términos “creencia” y “actitud doxástica”, y es importante desambiguarlas antes de continuar. Usaremos “creencia” como sinónimo de “creencia binaria”, una de las actitudes representacionales clasificatorias. “Actitud doxástica” será entonces un término general para los tipos de actitudes proposicionales que son similares a las creencias en el sentido de ser actitudes puramente representativas, incluyendo no solo la creencia binaria sino también la incredulidad, la certeza, la duda, la suspensión de la creencia, la confianza comparativa, la credibilidad numérica y otras. Sin embargo, hay una convención diferente en la que “creencia” es el término general, y la “actitud doxástica” significa algo así como “variedad de creencias”. En este enfoque, las creencias binarias a veces se llaman “creencias completas”, y las credenciales pueden ser “creencias parciales” o “creencia binaria incompleta”. Pero tienen más sentido cuando “creencia” es un término general. En el futuro, nos referimos a las actitudes representativas cuantitativas que son “creencias” o “grados de creencias”. También usamos “creencia” y “actitud doxástica” de acuerdo con la primera de las dos convenciones que acabamos de describir, por la que para nosotros “creencia” no será un término general.
Ahora supongamos que un filósofo afirma una conexión particular entre las creencias (binarias) y las credenciales. Esa conexión podría ser cualquiera de las siguientes: 1) definir actitudes de un tipo en término de otras; 2) reducir actitudes de un tipo a actitudes de otras; 3) afirmar un condicional de descriptivamente verdadero (o bicondicional) que vincula un tipo de actitud con el otro; 4) ofrecer una restricción normativa en el sentido de que cualquier agente racional con una actitud de un tipo tendrá una actitud particular del otro.
Por ejemplo, la tesis de Locke conecta creer una proposición con poseer un grado de confianza en esa proposición que supera algún umbral numérico. Inspirándose en John Locke, Richard Foley contempla la idea de que: decir que crees en una proposición es solo decir que estás lo suficientemente seguro de su verdad para que tu actitud sea de creencia. Entonces es racional que creas una proposición en caso de que sea racional porque tengas una suficientemente alta confianza en ella.
Foley presenta la primera frase, identificando la creencia con un grado suficiente alto de creencia, como la tesis de Locke. La última frase se presenta como consecuencia de la primera. Pero nótese que la afirmación normativa de la última sentencia podría ser asegurada por una tesis lockeana más débil y puramente normativa, afirmando solo que un agente racional cree en una proposición en caso de que este suficientemente seguro de ella.
En cualquier lectura de la tesis de Locke, habrá preguntas sobre exactamente qué tan alto debe ser este umbral. Se podría sugerir que el umbral de confianza para la creencia es la certeza (es decir, el 100% de confianza). Pero muchos de nosotros creemos proposiciones de las que no estamos seguros, y esto parece perfectamente racional. Trabajando en el espectro de la confianza, parece que para creer una proposición uno debería estar más seguro de ella que no. Pero eso deja mucho espacio para precisar un umbral entre el 50% y el 100% de confianza. Aquí puede ayudar sugerir que el umbral relevante para la creencia es vago o varía con el contexto.
La tesis de Locke también causa problemas cuando tratamos de superponer las normas tradicionales de creencia racional y credibilidad. Si establecemos un umbral de credibilidad para la creencia inferior al 100%, y adoptamos normas probabilísticas bayesianas para la credibilidad, la tesis de Locke genera conjuntos de creencias racionales para la Loteria y el Prefacio que violan la consistencia y el cierre de creencias.
La tesis Locke funciona identificando la creencia con un tipo particular de credibilidad. Pero podríamos intentar conectar estas actitudes en la dirección opuesta, identificando la credibilidad con un tipo particular de creencia. Por ejemplo, podríamos decir que un 60% de crédito de que un partido político perderá las próximas elecciones en caso de que crea que la proposición de que su probabilidad de perder es del 60%. La estrategia general aquí es alinear nuestra credibilidad en una proposición con la creencia en una segunda proposición sobre la probabilidad de la primera.
Esta estrategia conectiva, ya sea definida, reductiva o normativa, ahora se considera generalmente poco probable que tenga éxito. Por un lado, requiere pensar que siempre que un agente tiene un grado de confianza, también tiene una creencia sobre las probabilidades. Nos preguntamos sobre el contenido de estas creencias de probabilidad. Lo que importa para cada interpretación de probabilidad posible, es inverosímil pensar que siempre que un agente racional tiene un grado de confianza, tiene una creencia con ese tipo de contenido probabilístico. Si hablar de “probabilidad” es, por ejemplo, siempre hablar de frecuencia dentro de una clase de referencia; ¿debemos tener creencias sobre frecuencias y clases de referencia para ser pesimistas sobre las perceptivas sobre de algo?
La idea de que el valor numérico de una credibilidad ocurre dentro de una proposición hacia la cual el agente adopta actitudes también genera problemas más profundos. Generalmente los bayesianos contemporáneos piensan en el valor numérico de una credibilidad no como parte del contenido hacia el cual el agente adopta la actitud, sino como un atributo a la actitud misma. Adoptar 60% de crédito hacia una proposición de que un partido político perdiera; no se trata de ninguna proposición que contenga el valor 60%.
Esta es una pequeña muestra de las posiciones y principios que se han propuesto relacionando las creencias con grados de creencia. Uno podría abrazar algún principio de conexión, o se podría negar por completo la existencia de actitudes en una categoría. Tal vez no haya creencias o grados de creencia. Sin embargo, nos gustaría señalar que es posible que ambos tipos de actitudes existan sin que existan conexiones completamente generales y sistemáticas entre ellas.
Describir a los agentes como poseedores de creencias o como poseedores de grados de creencias podrían ser representaciones igualmente válidas de una realidad subyacente compleja, y cada descripción sería útil para diferentes propósitos. Las características del estado cognitivo de un agente, seleccionadas por cada representación también pueden ser igualmente reales. Sin embargo, puede que no haya conexiones generales y sistémicas entre una representación y la otra (incluso para un agente plenamente racional). Filosóficamente resulta útil representar a los agentes como si tuvieran grados numéricos sobre sus creencias.
[1] Ballarin, Roberta. (2023). Carnap and Quine on Ontology and Categories. 10.1017/9781108664202.016.
[2] https://chat.openai.com
[3] Bengson, John & Cuneo, Terence & shafer-landau, Russ. (2022). The Question of Method. 10.1093/oso/9780192862464.003.0005.
[4] Pascal, Blaise (1670/1910). Pens’ées. Translated by W.F. Trotter. London: Dent.
[5] Mckinnon, Rachel. (2015). The Lottery Paradox. 10.1057/9781137521729_5.
[6] Ryan, Sharon. (1991). The preface paradox. Philosophical Studies. 64. 293-307. 10.1007/BF00365003.