Pensamiento Matemático

proceptual-simbólico

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Filo Enrique Borjas García
Rogelio Ochoa Barragán

Lección 14: Funciones como relaciones y tablas

Una función es una regla para relacionar dos o más variables. Por ejemplo, el precio que paga por el servicio telefónico celular puede depender de la cantidad de minutos que  habla por teléfono. Diríamos que el costo del servicio telefónico es una función de la cantidad de minutos que habla. Considere la siguiente situación:

Júpiter asiste a un zoológico donde  paga $2 por visita.

Existe una relación entre el número de visitas en el que Júpiter va y el costo total por el día. Para calcular el costo se multiplica el número de paseos por dos. Una función es la regla que nos lleva desde el número de paseos al costo. Las funciones son por lo general, pero no siempre, las reglas basadas en operaciones matemáticas. Usted puede pensar en una función como una caja o una máquina que contiene una operación matemática.

Número de visitas

Un conjunto de números alimenta la caja de función. Esos números son cambiados por la operación dada en un conjunto de números que van saliendo desde el lado opuesto de la caja. Podemos introducir valores diferentes para el número de visitas y obtener el costo.

La entrada se llama variable independiente, porque su valor puede ser cualquier número posible. Los resultados de salida de la operación y, se llama variable dependiente porque su valor depende del valor de entrada.

A menudo, las funciones son más complicadas que el de este ejemplo. Las funciones por lo general contienen más de una operación matemática. Aquí hay una situación que es un poco más complicada.

Júpiter va a un zoológico donde paga $8 para la admisión y $2 por transporte.

Esta función representa la cantidad total que paga Júpiter. La regla para la función es "multiplicar el número de visitas por 2 y añadir 8".

costo

Los diferentes valores de entrada para el número de visitas, genera diferentes salidas de gastos.

costo

Estos diagramas de flujo son útiles en la visualización de lo que es una función. Sin embargo, son difíciles de utilizar en la práctica. Nosotros usamos la siguiente notación abreviada en su lugar.

Así que “x” representa la entrada y “y”  representa la salida. La notación f(x) representa la función o las operaciones matemáticas que usamos en la entrada para obtener la salida. En el último ejemplo, el costo es de 2 veces el número de visitas más 8.  Puede escribirse como una función.

La salida está dada por la fórmula. La notación y y se utilizan indistintamente, pero tenga en cuenta que  representa el valor de producción y f(x) representa las operaciones matemáticas que nos llevan desde la entrada hasta la salida del algoritmo matemático.

Identificar el dominio y el rango de una función.

En el último ejemplo, vimos que podemos introducir el número de visitas en la función que nos dé el costo total para ir al zoológico. El conjunto de todos los valores que son posibles para la entrada se denomina el dominio de la función. El conjunto de todos los valores que son posibles para la salida se denomina el rango de la función o contradominio. En muchas situaciones, el dominio y el rango de una función es conjunto de todos los números reales, pero este no es siempre el caso. Echemos un vistazo a nuestro ejemplo del parque de atracciones.

En el ejemplo anterior, en esta función, x es el número de visitas y y es el costo total. Para encontrar el dominio de la función, es necesario determinar qué valores tienen sentido en la entrada.

• • Los valores tienen que ser cero o positivo, porque Júpiter no puede ir en un número negativo de visitas.
• • Los valores deben ser enteros, ya que, por ejemplo, Júpiter no podría ir en 2.25 veces.
• • Siendo realistas, debe haber un número máximo de visitas que Júpiter puede continuar debido a que el zoológico cierra, se queda sin dinero, etc. Sin embargo, como no se nos da ninguna información sobre esto, debemos tener en cuenta que todos los enteros no negativos podrían ser ??posibles, independientemente de lo grande que sean.

Encontrar el dominio y el rango de las siguientes funciones:

Una pelota se deja caer desde una altura y rebota hasta el 75% de su altura original.

Definimos variables

 x = altura original

y  = altura que rebota 

Aquí es una función que describe la situación.

La variable  puede tomar cualquier valor real mayor que cero.

Por lo tanto:

El dominio es el conjunto de todos los números reales mayores que cero.

El rango es el conjunto de todos los números reales mayores que cero.

Como hemos visto, para una función, la variable x se llama variable independiente, ya que puede ser cualquiera de los valores del dominio, y la variable y se llama variable dependiente, ya que su valor depende de x. Los símbolos pueden ser utilizados para representar las variables dependientes e independientes.

Una función:

• • Solo acepta números del dominio.
• • Para cada entrada, no es exactamente una salida. Todas las salidas forman el rango.

Tablas y función

Una tabla es una manera muy útil de organizar los datos representados por una función. Podemos coincidir con los valores de entrada y salida y organizarlos en forma de tabla. Tomemos como ejemplo de las visitas a zoológico.

Una tabla nos permite organizar los datos de manera compacta. También proporciona una referencia fácil para la búsqueda de datos, y nos da un conjunto de puntos de coordenadas que podemos trazar para crear una representación gráfica de la función.

Para generar una tabla en wólfram Alpha se ingresa la Instrucción Table[x^2,{x,2,5,(1/2)}]

Donde x^2 es la f(x), x es la variable independiente, desde 2 a 5, con pasos de ½.