Pensamiento Matemático

proceptual-simbólico

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Filo Enrique Borjas García
Rogelio Ochoa Barragán

Lección 18: Álgebra arábiga 

Hasta aquí hemos definido un álgebra como un cuerpo o campo cerrado bajo una operación binaria (adición y multiplicación). Implícitamente están las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva, elemento neutro, inverso simétrico. Además, se exploró por el mundo de los números naturales, enteros, primos, racionales, irracionales y complejos. Ahora toca el turno al lenguaje algebraico de los polinomios, partiremos de conceptos muy simples de leyes de los signos, exponenciales, radicales. Se les llama leyes cuando en realidad son axiomas, es decir, verdades evidentes a nuestra especie.

Leyes de los signos. 

Leyes de los exponentes

Leyes de los radicales

Valor absoluto de un número real x es:

x representa una variable que expresa cualquier número real. Donde a es el coeficiente de x, n el exponente de x.  Se escribe para:  

Un polinomio es la suma de términos algebraicos en un arreglo decreciente de sus potencias. Se clasifican por el alto grado y el número de variables. La suma de los exponentes de las variables de un término indica el grado de ese término. Un monomio es un polinomio de un término. Cuando el polinomio se da en forma de factores se dice que fue factorizado, en caso contrario cuando está en suma de términos se dice que está expandido. 

Algunos productos muy útiles en el ámbito escolar son aquellos relacionados con la manipulación de constantes, variables, términos y expresiones con el fin de simplificar y evaluar resolviendo ecuaciones y encontrando los valores de las variables que satisfacen los enunciados verdaderos. Las operaciones de productos de variables son análogas a la aritmética de números reales. 

Estos productos se pueden demostrar simplemente aplicando el producto de monomio, binomio,…

El área de un cuadrado es el cuadrado de la longitud de su lado. Si la longitud de los

lados es a + b entonces el área es . Sin embargo, el área del cuadrado puede ser

dividida en cuatro rectángulos como se muestra en la figura.

Por lo tanto, la suma de las áreas de los cuatro rectángulos será igual al área del cuadrado, es decir,

Ahora damos una representación geométrica del cuadrado de la diferencia de dos

números a, b, donde b ≤ a. El problema ahora es encontrar el área del cuadrado de

lado a - b.

En la figura se observa que el área del cuadrado del lado a es igual a la suma de las áreas del cuadrado de lados (a-b) y b, respectivamente, más el área de dos rectángulos iguales con lados de longitud b y (a-b). Es decir, ,

por lo tanto

Ahora, para encontrar el área de la región sombreada de la siguiente figura,

Observe que la suma de las áreas de los rectángulos que cubren las regiones es a(a-b)+b(a-b), y factorizando esta suma obtenemos

Que es equivalente al área del cuadrado grande, menos el área del cuadrado pequeño, es decir,

Otro producto notable, pero que ahora se ocupa de tres variables, es dado por

La representación geométrica de este producto viene dada por la igualdad entre el área del cuadrado con longitud lateral a + b + c y la suma de las áreas de los nueve rectángulos en los que se divide el cuadrado, es decir,

A continuación, ofrecemos una serie de identidades, algunas de ellas muy conocidas y otras menos conocidas, pero todas muy útiles para resolver muchos problemas.

Los productos notables, son un claro ejemplo de la fusión entre la aritmética y la geometría, el álgebra es esta fusión. 

Factorización

Una de las formas más importantes de manipulación algebraica se conoce como factorización. Analizamos algunos ejemplos y problemas cuyas soluciones dependen de fórmulas de factorización. Muchos de los problemas que involucran expresiones algebraicas pueden ser fácilmente resueltos usando transformaciones algebraicas en las cuales la estrategia fundamental es encontrar factores apropiados que cuando se multiplican entre sí retorna a la expresión inicial.

Estas identidades algebraicas se catalogan como identidades de segundo orden. De hecho, hemos estudiado estas cuatro identidades en la sección de productos notables. Sin embargo, ahora nos gustaría, dada una expresión algebraica, reducirlo a un producto de expresiones algebraicas más simples.

Para los números reales a, b, x, y, con x e y diferentes de cero, se sigue que

Para obtener la igualdad, comenzamos con la suma en el lado izquierdo de la identidad y seguimos las igualdades siguientes

Factor común al modo de na+nb=n(a+b)

Diferencias de cuadrados

Trinomio cuadrado perfecto

Más trinomios

Diferencias de dos cubos 

Completando cuadrados sumando y restando para completar el cuadrado

Adición de polinomios

El cálculo de suma de polinomios, para ello, se debe agrupar los términos semejantes y realizar enseguida  la suma análoga a la aritmética de números. 

; ;

Para el caso de la resta, el cálculo requiere que el signo menos opere al polinomio sustraído. 

menos 

Multiplicación de polinomios

Para multiplicación de monomios, ordénese de acuerdo a las reglas de los exponentes y los signos. Además, se multiplican coeficientes a coeficientes y literales a literales del mismo tipo:

Para el cálculo de una multiplicación a un monomio por un polinomio, cada termino del polinomio es afectado por el factor monomio.

Calcular la multiplicación entre  polinomios, se multiplica cada término por cada término del respectivo polinomio, además, un ordenamiento por potencias y literales ayuda en el orden de multiplicación. 

División polinomial

Para calcular cocientes entre monomios, aplique las leyes de los exponenciales y divida los coeficientes si es posible. 

El caso de cálculos de cocientes de polinomios, se llama división larga, debe ordenarlos ascendente o descendente variables y potencias de ambos. De la división de los primeros términos saldrá el cosiente, enseguida multiplicamos cociente por divisor y el resultado lo restamos al dividendo, repetimos los pasos hasta que el residuo sea de menor grado que el divisor o cero.

Para practicar use: http://library.wolfram.com/webMathematica/Education/LongDivide.jsp