Pensamiento Matemático

proceptual-simbólico

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Filo Enrique Borjas García
Rogelio Ochoa Barragán

Lección 3. Matemática elemental 

Presentar los campos de las matemáticas que se consideran elementales, es algo complicado en su selección temática, debido a que lo elemental a lo largo de la historia de la educación de las matemáticas tiene sus lagunas, dado que consideran elementales a los temas matemáticos necesarios para sobrevivir en la sociedad, entonces lo elemental está determinado por cada época. A principios del siglo XX elemental se consideró a la aritmética, el álgebra arábiga, geometría analítica. En la posguerra se agregó a la matemática elemental el Cálculo y la lógica. A finales de ese siglo con el auge de la informática, a la matemática elemental se le adiciona la probabilidad y la estadística, lenguajes de computación y algoritmos. Y es aquí en donde nos encontramos en la historia de la matemática elemental.

Aritmética 

Probablemente el primer tema de la matemática elemental sea el álgebra aritmética, donde los dedos humanos crearon su arquitectura de números 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Este simbolismo de los números de base 10, ya en si es una idea profunda, que conduce a muchos problemas fascinantes sobre los números. A considerar el significado de número 1578. Este símbolo está organizado por números en posiciones especificas, similar a presentarlo separado por comillas, es decir:

Por lo tanto, para saber el significado de los números decimales, uno tiene que entender además, la suma, la multiplicación y exponenciación. De hecho, la relación entre los números y los números que representan es nuestro primer encuentro con un fenómeno que es común en las matemáticas y la vida: crecimiento exponencial. Nueve números positivos es decir 1,2,3,4,5,6,7,8,9, son dados por números de un solo dígito, 77 o 10,11,12,13,…,77 son números de dos dígitos, 800 es un número de tres dígitos y así sucesivamente. Al agregar un dígito a la cifra, la numeración se multiplica por 10. Cinco o nueve cifras representan la capacidad de numerar un conjunto de ese tamaño, pero para nombrar las estrellas de universo no alcanza. El mundo del hombre está hecho de sistemas de notación numérica para expresar todo tamaño de conjunto de elementos. 

Parece sorprendente que grandes cantidades pueden ser codificadas por números pequeños en forma exponencial. El mundo de los números decimales se nos enseñó en la primaria o secundaria y se nos habló que hay números pares especiales, nones y primos. Un número es primo si es mayor que 1 y no el producto de números más pequeños. Así los números primos son un natural mayor que uno, que tiene únicamente dos divisores distintos, del mismo y el uno. El número 1 no es primo por acuerdo, no es un número compuesto. Los números compuestos tienen divisores además de sí mismo y el del 1, por ello pueden ser representados  en forma factorizada por números primos y solo el 2 es el único número primo par. Podemos definirlos como un entero positivo que tiene exactamente un divisor entero positivo distinto de 1.

2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

Hay infinitamente muchos números primos y parece relativamente fácil encontrar los más grandes. Por ejemplo, apoyándonos en la Web de Wolfram Alpha:

De este modo 

el siguiente número primo de 10¹⁰= 10¹⁰+ 19,

el siguiente número primo de 10²⁰= 10²⁰+ 39,

el siguiente número primo de 10⁴⁰= 10⁴⁰+ 121,

el siguiente número primo de 10⁵⁰= 10⁵⁰+ 151,

el siguiente número primo de 10¹⁰⁰= 10¹⁰⁰+ 267,

el siguiente número primo de 10¹⁰⁰⁰= 10¹⁰⁰⁰+ 453.

Así es fácil encontrar números primos por lo menos con 1000 dígitos. Aún más sorprendente, podemos probar cualquier número de 1000 dígitos y encontrar cual es el primer primo que le sigue. La sorpresa no es solo que es factible reconocer números primos grandes, sino que es factible reconocer números no primos sin encontrar sus factores. Al parecer, es más difícil encontrar factores que demostrar que existen. Estos descubrimientos recientes sobre los números primos y la factorización subrayan la naturaleza de los misterios de la aritmética elemental. La multiplicación puede ser difícil, es evidente que una comprensión completa de la aritmética elemental no es tan fácil como parecía en la escuela primaria. Algunos puntos de vista requieren conocimientos de orden superior para aclarar este pensamiento matemático.

Computación 

Como vimos en el tema anterior, trabajar con números decimales requiere de algunas habilidades computacionales no triviales, incluso para sumar, restar y multiplicar números enteros. Las reglas o algoritmos, para sumar, restar y multiplicar números decimales son lo suficientemente conocidas en el bachillerato, por lo que consideramos no son necesarias describirlas aquí. Pero es bueno recordar que participan muchos hechos, en las sumas y productos de posibles números de dos o más dígitos, una es necesaria para alinear los dígitos correctamente en el acarreo. El aprendizaje y el entendimiento de estos algoritmos son un logro importante. Sin embargo, generalmente se asume que los algoritmos de suma, resta y multiplicación son dados casi de manera natural. Una razón es que son rápidos, los algoritmos decimales son eficientes para cualquier caso. Tales algoritmos se han conocido desde la antigüedad, antes que se inventara el sistema decimal. El ejemplo más claro es el algoritmo Euclidiano para encontrar el máximo común divisor de dos números, toma dos números enteros positivos, comencemos por ejemplo con el par 13, 8

En el momento en el que dos números son iguales y el algoritmo se detiene. La número 1, de hecho es el máximo común divisor (mcd) de 13 y 8, pero ¿Por qué se debe producir el mcd de esta manera? El primer punto es: si un número d divide dos números a y b, entonces d también divide a-b. En particular, el máximo común divisor de a y b es un divisor de a-b, y por lo tanto, de todos los números producidos por la secuencia de restas. El segundo punto: la sustracción continua disminuye el máximo miembro de la pareja, y por lo tanto el algoritmo eventualmente se detiene, necesariamente con un par de números iguales. De esto se desprende que el número de terminal es igual al mcd de la pareja inicial.

El algoritmo euclidiano es un proceso rápido en términos de el número de secuencias de proceso necesarias para llegar al resultado. Si los cálculos fueran dados en números decimales, y si remplazamos reiteradamente las sustracciones de b, dado por la división de a por b con el remanente, entonces el número de divisiones necesarias para obtener el MCD (a,b) es aproximadamente al número total de dígitos en el par inicial.

En 1937 Lothar Collatz, desarrolla un algoritmo que esta en el contexto de la aritmética elemental. Se aplica a números enteros positivos, si el número es par, se divide entre 2; caso contrario si es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.

 f(n):

Si n es par:

Si n es impar:

Con esta función Collatz nos dice que siempre se alcanza el 1.

Dado un número arbitrario, creamos sus órbitas, y por órbita entenderemos los números  sucesivos al iterar la función, por ejemplos para n=13

f(13)= 13x3+1=40

f(40)=40/2=20

f(20)=20/2=10

f(10)=10/2=5

f(5)=5x3+1=16

f(16)=16/2=8

f(8)=8/2=2

f(2)=2/2=1

f(1)=3x1+1=4

f(4)=4/2=2

F(2)=2/2=1

…

El ciclo se repite indefinidamente 4,2,1 es una órbita periódica.  Una órbita es una clase de conjugación del elemento n.  Para el caso n=6, la órbita es 6,3,10,5,16,8,4,2,1. Esta sucesión esta acotada. Hasta 2005 se demostró que esta función es valida para números menores de . Este algoritmo tiene la promesa de que alcanzaremos el 1 para cualquier n con el que se comience. Aún no está demostrado formalmente, pero este desafío resulta emocionante.

Hace apenas cien años, por la falta de una teoría de algoritmos, se acogió el problema de Collatz como un concepto de algoritmo computacional. Pero es hasta 1970 que la teoría computacional se le presento un hito, algunos cálculos no se pueden realizar en la práctica, a pesar de que existen en principio, por ejemplo, la exponencial de números extremadamente grandes. Esto condujo a una luz para todo el campo de la computación y de hecho a una revalorización matemática que involucra el cálculo a partir de la aritmética. Ya hemos dicho que al parecer, es más difícil encontrar factores que demostrar que existen para los números primos. Este hecho resulta contrario para los que suponen la existencia de un objeto matemático,  implicada al poder encontrarlo.

Estos ejemplos de matemática elemental nos muestran que, lo elemental no es para nada una computación aritmética simple, por contrario nos demuestra la complejidad de sus irresueltos, el por qué la propia aritmética es un campo de teoría matemática de enorme desafío. En resumen, lo elemental como sinónimo de aritmética, se tambalea con la existencia de una aritmética modular, teoría de grupos, anillos y otros conceptos de enorme aplicación científica, tecnológica, militar y recientemente en los fractales observados en cuentos y novelas de grandes escritores^[1].

Álgebra

El álgebra es un campo asombrosamente dinámico en su cambio, los estudiantes generalmente tienden a expresar por álgebra a las operaciones con polinomios, resolver sus ecuaciones hasta tercer grado y realizan cálculos de determinantes, reducciones de expresiones racionales y el estudio de las curvas asociadas a estos polinomios, la reconocen en libros de pre-cálculo. Aunque en nuestros días, el álgebra computacional gana enormes aplicaciones, se le suele marginar de ser un elemento de matemática elemental. Definir un álgebra como un cuerpo o campo cerrado bajo una operación binaria, es referirnos a ella de manera formal. Un álgebra aritmética su cuerpo es hecho de números reales, un álgebra arábiga de polinomios, una compleja de números complejos, una integral de familia de funciones, una lineal de matrices,…, todas ellas se les identifica por cumplir con alguna estructura de axiomas tales como la conmutación, la asociativa, la distributiva, el elemento neutro y el inverso simétrico. En consecuencia todos los ejercicios algebraicos se desprenden de estos axiomas:

El objeto de aprender cualquier álgebra, por error se confunde en la educación como resolver cientos de miles de ejercicios, como un modo de comprenderlo como un sistema de axiomas de cerradura, es decir, que encapsulan cualquier resultado dentro de su propio cuerpo o campo. Los axiomas suelen ser estos últimos nueve citados en lineas atrás. El error es que suelen los estudiantes quedarse solo en ejercicios y dejan de ver el panorama del poder de estos sistemas axiomáticos, o comúnmente en la matemática formal se les llama campos o cuerpos. En cuanto algo cumple con estos nueve axiomas se les llama campo, y la teoría de campos es la rama que estudia al álgebra. El primer campo que conocemos está hecho de números reales, el segundo de polinomios, el tercero de complejos, el cuarto de funciones, el quinto de vectores, el sexto de matrices, …, y cada uno es un terreno único en sus posibilidades científicas y tecnológicas.

En el siglo XX se desarrollaron muchos sistemas encapsulados en apoyo computacional a la criptografía comercial, militar y científica. El dinero electrónico y las transacciones comerciales en la Internet no pueden ser posibles sin este robusto cuerpo de conocimiento. Es cierto que no todas las álgebras cumplen con los nueve axiomas ya referidos, este problema escapa a la intención de este texto, pero téngalo presente, las matemáticas modernas casi todo lo refieren a estos sistemas axiomáticos. ¿Quién hubiera pensado que casi todo el vasto mundo de las matemáticas es desprendido de estos axiomas básicos?

Pero hay otras estructuras algebraicas, por ejemplo, si un álgebra no cumple con el axioma del elemento inverso simétrico la llamaremos a ese campo anillo (permite la existencia de fracciones, el producto en un anillo no necesariamente tiene operaciones inversas). El primer anillo que todos conocemos es el sistema de números enteros. Los números naturales (enteros positivos) no son un campo ni anillo. No queda muy claro por qué los números racionales y enteros , son más útiles que los naturales, puesto que todas las propiedades de los números enteros o racionales se heredan de los enteros positivos. Quizá la razón sea que tienen mejor estructura algebraica en su cuerpo axiomático, en algún sentido. El anillo parece ser un buen escenario para discutir temas como la divisibilidad y los números primos, mientras que la estructura del campo es buena en geometría. 

Geometría 

Sin duda la geometría ingresa con fuerza en las matemáticas con el teorema de Pitágoras. Este teorema afirma que el cuadrado debajo de la hipotenusa c de un triángulo rectángulo es igual (en área) a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. 

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pitágoras

El teorema es apenas obvio, la prueba se muestra arriba en la figura, los cuadrados perfectos formados en completo a los cuadros por a y c. La respuesta a los axiomas de Euclides en su libro Elements, se consolida con el teorema de Pitágoras. Este enfoque, hace unos 100 años, los matemáticos consideran que el rigor y universalidad del sistema de axiomas Euclidiano no rellena algunos huecos vacíos de la geometría. El requerir una gran cantidad de nuevos axiomas adicionales y el hecho que hay otra geometría que requiere modificar el sistema de axiomas. 

Nos parece que el enfoque axiomático debe ser abandonado en la geometría y esta debe basarse en el enfoque algebraico iniciado por Descartes en el siglo XVII. En geometría algebraica, los puntos en el plano se dan por pares ordenados (x,y) de números y líneas curvas son expresadas por ecuaciones polinómicas en x y y. Desde el punto (x,y) se encuentra la distancia horizontal x y  la vertical y desde el origen 0. Nosotros definimos la distancia como:

motivando que el teorema de Pitágoras.

Un círculo de radio unidad, que consiste en los puntos a distancia 1 hasta 0. Tiene la ecuación 

Mas generalmente, el círculo con centro en (a,b) y radio r tiene la ecuación

El problema con este enfoque algebraico es que va demasiado lejos, no hay ninguna restricción natural en las ecuaciones que precise los conceptos geométricos de Euclides. Si nos detenemos en estas ecuaciones lineales obtenemos solamente líneas; si lo hacemos para las cuadráticas obtenemos todas las cónicas, hipérbolas, elipses y parábolas. Mientras que con Euclides solo círculos. Sin embargo, hay un concepto algebraico diferente que surge, y que refiere a un lugar en el espacio geométrico: el concepto de vector, y nuevos productos tales como el producto interno y el producto cruz. Si bien no da la generalidad del espacio vectorial, en su lugar describe el espacio vectorial que es conveniente para la geometría plana euclidiana. 

Se nos permite agregar una nueva regla:

Y para multiplicar a un par por cualquier número real c utilizamos la regla de:

Estas operaciones tienen interpretación geométrica natural: adición a cada , significa trasladar el plano; es decir, cambiando todos sus puntos a través de la distancia horizontal a y distancia b vertical.  Multiplicando cada por el factor c, aumenta el plano entero por el factor c. Como veremos este ajuste simple prueba algunos teoremas geométricos interesantes. Pero para capturar todos los de la geometría de Euclides tenemos un ingrediente adicional: el producto interno, llamado también producto punto, definido por 

Note que:

Donde denota la distancia de (x,y) desde el origen O. Por lo tanto, el producto interno puede ser definido como la distancia de acuerdo con el teorema de Pitágoras. Una vez que tenemos el concepto de distancia, también podemos obtener el concepto de ángulo, porque resulta que 

Donde es el ángulo entre 

Como se muestra enseguida:

Las principales ventajas de utilizar el concepto de un espacio vectorial con el producto interno, en lugar de los axiomas de Euclides, son la familiaridad y universalidad. Las reglas para calcular los vectores son similares al álgebra tradicional; también, el producto interno y los espacios vectoriales ocurren en muchas partes de las matemáticas, por lo que vale la pena aprenderla como herramienta de uso general. En resumen, hay otras geométrias distintas a la Euclidiana, por ejemplo la hiperbólica en la que el postulado de las rectas paralelas de Euclides es falso, los ángulos de un triángulo no suman Pi y para una figura de un tamaño dado, no existe otra semejante de tamaño mayor. 

Cálculo

El cálculo difiere de la aritmética elemental, el álgebra y la geometría de una manera crucial, el hecho de la presencia de procesos infinitos no lo advierte. Tal vez, el abismo entre finito e infinito es tan profundo que debemos utilizarlo para separar lo elemental de lo no elemental en el aprendizaje de las matemáticas. Sin embargo, esto no debe ser así, El propio Euler escribió sobre procesos infinitos sin mencionar a la derivada o integral, se le refiere como pre-cálculo. 

Así, probablemente no sea prudente excluir el infinito de las matemáticas elementales. La pregunta es si el infinito debe ser explorado antes del cálculo, mediante series infinitas (procesos infinitos), o después. En nuestra experiencia hay mucho que decir, primero al mirar en el infinito. La serie infinita se presenta naturalmente en la geometría o la aritmética elemental, y de hecho fueron utilizadas por Euclides y Arquímedes antes que Newton inventara el cálculo. También antes del cálculo, en un margen histórico, fue introducido el concepto de infinitos decimales por Stevin 1585. Decimales infinitos son un tipo particular de series infinitas, es una ampliación del concepto de fracción decimal, por lo que probablemente es el proceso infinito más accesible a los estudiantes del siglo XXI.

Un decimal infinito surge de cualquier fracción ordinaria cuando intentamos convertir la fracción a decimal, por ejemplo 3/7 =0.42857142857142857… es decir, con cualquier fracción irreductible. Pero hablar de fracciones a menudo representa una dificultad profunda en la mente de los estudiantes, en consecuencia, su imaginación tiene un callejón sin salida. El docente puede recurrir a lo hipotético dentro de las matemáticas, necesita en verdad serenidad, la clave para reconocer este conocimiento es no quedarse en el puramente lógico, la intuición debe tocar primero este problema.

Los objetos matemáticos, son estructuras ideales, es decir, sin contradicción lógica. La precisión de los modelos matemáticos los prefiere la ciencia y la técnica en su búsqueda de verdad y eficacia respectivamente. Decir que una proposición matemática es objetiva por ser verdadera, entonces existe en el mundo platónico. La existencia platónica no está sujeta al tiempo-espacio material, es parte de nuestra mente, una conexión a un mundo artificial o sí gusta llamarlo virtual, en el que a partir de principios matemáticos comunes a nuestra especie, todo allí es coherente, preciso, bello. No hay objetos matemáticos fuera de la razón y la intuición. No es que nuestra mente posea un programa computacional único de la especie, capaz de reconocer a partir de axiomas la verdad, es en principio la intuición formada de axiomas innatos a nuestra biología, lo que da significados evidentes a lo verdadero. La belleza de la matemática es que sus enunciados platónicos revelan la magia oculta en estructuras superiores de la matemática. La estética es dada en teoremas o demostraciones. Las demostraciones son esas ImagLec3 estéticas del mundo platónico.  

Una fracción ya se ha dicho que es un número racional expresado por la razón a/b donde a y b son enteros diferentes de cero. Son estos números cantidades finitas simples, pero insuficientes para hacer geometría. Para la geometría hemos dicho, se necesita de los irracionales, esos números de cantidades decimales infinitas, de hecho, muchas diagonales o hipotenusas no es posible determinar su longitud con números finitos, por ejemplo la raíz cuadrada de dos.

Este número es descrito en forma decimal por una sucesión infinita, a pesar que nuestra calculadora electrónica devuelve un número finito aproximado; pero para ser platónico este debe existir. Las fracciones irracionales cuando se expresan  en decimal, en sus secuencias de números, aparecen ráfagas de secuencias finitas que se repiten infinitamente, a estos se les llama irracionales cuadráticos. 

Estimado lector, pero Usted se preguntara por qué ampliar el pensamiento matemático cuando  el estudiante promedio no puede realizar operaciones aritméticas con números fraccionarios. Creemos que estos estudiantes han sufrido a manos de otros profesores o sus tutores, el tormento de estas operaciones. Manipular fraccionarios del tipo a/b tal vez, No comprendan lo que es una fracción. Problemas de encontrar el factor común en el numerador y el denominador de un racional ordinario causó en los estudios de  primaria un trauma, se intentó relacionar las fracciones con algunos ejemplos de la realidad física. 

¿1/4 qué clase de número es? Muchos lo refieren como una fracción, donde el par ordenado 1 y 4 son enteros. Y 8/32 es el mismo número que la fracción 1/4. Podemos decir que un par ordenado (1,4) es el mismo (8,32). Podemos sugerir que es cuestión de simplificación. Pero todavía no sabemos muy bien que es una fracción, es un número de un par ordenado de enteros que cumplen con el sistema axiomático de un álgebra. Una fracción es una clase infinita de pares, que cuando se suman las veces de unidad fracción sobre las del denominador se llega al uno, por ejemplo:

Su cantidad equivalente de un número fraccionario, es 

Donde n es un factor entero distinto de cero que permite conocer todos los pares ordenados de la clase a/b.

Así pues, en resumen, saber que es una fracción y cómo este número es parte de un campo o sistema axiomático o si lo prefiere llamar simplemente álgebra aritmética; y que además puede ser sumado, restado, dividido, multiplicado, factorizado, operado por su inverso simétrico, bajo las propiedades conmutativa, asociativa,  distributiva, elemento neutro, simetría inversa. No es cosa, que se aprende haciendo miles de ejercicios de fraccionarios. Esta colección infinita de pares, la hemos definido como un fraccionario, y este es el desafío verdadero del pensamiento matemático y no la ingenua tarea de aplicar miles y miles de ejercicios de fraccionarios, misión que a todas luces solo logra traumas a los estudiantes. Y buena parte de pensar las matemáticas es algo parecido a lo hecho aquí para explicar lo que es una fracción.

Muchos dicen que las operaciones con fracciones son el coco de los estudiantes de matemáticas en México. Muchos heredan a las nuevas generaciones este miedo al “sufrimiento” de la  aritmética de fracciones, en la pubertad se agudiza con solo mencionarlo en el aula que gime, suspira y se desploma de hombros. ¿Por qué? Así que la sensación es que son algo difíciles. ¡El mirar esto aterra!

La expresión parece muy difícil…!que es imposible¡ El alumno no puede y le es desagradable. Así que empecemos con una más sencilla. 

Uff¡¡¡ La mayoría podría lentamente saber el resultado. Realmente es más sencillo el cálculo. De hecho, con manzanas o rebanadas de pasteles puede hacerse. Entonces, ¿qué es lo que hace incomodo a las fracciones? Recuerdo a un estudiante de 17 años, sentado en el aula, cuando se les pidió que sumara dos fracciones con mismo denominador. 

Por qué este estudiante volteó a ver como desesperado a otros a su lado, dijo por qué estás tienen el mismo denominador, qué quiere decir pregunto. Entonces se le dijo que era igual a sumar peras o manzanas de la aritmética simple, “no pienses en el fraccionario como un medio, sino como un número cuya cantidad que representa es la mitad de la unidad”. La mayoría de los docentes introducen el concepto de fracción como la idea de repartir, si es justo la repartición será en partes iguales y si no es justo se desequilibrará la repartición. A las partes repartidas se les llama fracción. Estas piezas para sumarlas, dividirlas, multiplicarlas o controlar su mínimo común denominador; el docente las expresa como técnicas y nada más, e aquí el error, se deben aprender las técnicas en un contexto de aplicación a un problema. Una vez que son intuitivas, es posible pasar al rigor de la técnica.

Se aprenderán palabras como  un sexto, tres medios, un séptimo,… Estas palabras tendrán el significado cuantitativo de un número fraccionado. Las propias operaciones, el estudiante las debe ver como respuesta lógica al resultado buscado. La siguiente es respetar la notación de las fracciones. Es extraño, pero una fracción es un número a/b, a como numerador y b denominador. Pero la mente distraída rápidamente lo observa como dos números. ¿Entonces que es una fracción? La definición más común es que es una parte de un todo. Un todo resulta complicado sin la idea de mónada, esa unidad presente en cada capa de la realidad, esa misma que permite contar en ella sus unidades. Una mónada es: un universo, una estrella, un planeta, un continente, una isla, un árbol, un hombre, una molécula, un libro, un estudiante. Una unidad es un todo y rápidamente la idea de mónada esta resuelta. La cosa es, sin embargo, una mónada o unidad divisible en piezas, cada pieza es una fracción de la mónada, tales como 

Pero 3/5 resulta un salto mental enorme. ¿Por qué? Bueno, 1/3 es una parte de algo más grande. ¿Pero y  3/5 ? Es tres partes de algo dividido en cinco? Tal vez  ambas intuiciones son verdad, la diferencia puede parecer poco importante, pero es fundamental aprender a imaginar esto. Un pastel dividido en 7 partes, si me tocan 3 de ellas, tendremos para nosotros 3/7 de pastel. Imaginar un cambio así, requiere que el profesor en principio introduzca el contexto del empleo de estas dos nociones desde el mundo real. La falta de referencia sobre la idea de un número fraccionario extravía el sentido de las técnicas aritméticas de estos números. Lo que nos lleva al siguiente punto, los estudiantes necesitan visualizar un análogo sobre lo que están calculando. Cuando piensan qué fracción es mayor entre 2/3 y 2/7, su mente debe procesar que un cociente que expresa una mayor división representa una menor porción de un algo. Cuando se piensa una fracción determinada, se necesita reducirla a su mínimo equivalente, para poder visualizar la cantidad que representa, por ejemplo 2/7  2/20  9/10  13/33 , ¿cómo mentalizarse cuál representa una mayor cantidad de un algo?.

Sin duda, que la mente puede evaluar los cocientes respecto al concepto de un todo o mónada. Pero, entrenar la mente para ello requiere discutir lo que es una mónada, y esto es justo lo que pierde de vista el docente. Fue el propio matemático Gottfried Wilhelm Leibniz el primero en observar este importante desafío mental. 

Mónadas

El universo, no es otra cosa que estructuras de información organizadas a modo de energía. Einstein lo ve de esta manera E=mc², es decir, toda la materia es una forma comprimida de  energía, masa y energía son la misma cosa. Para comprenderlo, se hace la consciencia con las matemáticas ontológicas, esas matemáticas que sus enunciados expresan algo equivalente a la realidad que refieren.  Por ejemplo las mónadas definidas por la ecuación de Euler. Estas no son puntos en el infinito en el límite de la nada. Se trata de áreas, volúmenes, densidades, líneas. Euclides define a los puntos como lugares dimensionales, y es una revolución lo hecho por Euler, donde los puntos son mónadas con estructura dimensional y esto es fundamental y elemental para el nacimiento del cálculo derivativo e integral. Pero, ¿cómo puede un punto ser un área, un volumen, una línea? Es decir, ¿cuántos lados tiene este punto? ¿todos los puntos son creados iguales? ¿Este tipo de punto o mónada de Euler puede dividir cualquier cosa hasta el infinito, es decir, antes que la mónada sea cero?. Las mónadas tienen aveces un nombre más resonante: almas. Todos habitamos almas en el mundo, esencias maravillosas y singulares fuera del tiempo y el espacio: software. Nuestras almas son singularidades matemáticas individuales. Desde la óptica de Fourier, estas almas monádicas son un dominio de frecuencias único, el mundo material del espacio-tiempo es un producto combinado de Fourier: es decir, el universo entero está hecho de materia que vibra.

La información o punto de Euler trata de números, cuando Pitágoras  refiere “todas las cosas son números”, él estaba afirmando que vivimos en un universo de información. Leibniz fue el mejor heredero del legado matemático  de Pitágoras, enunció su principio de razón suficiente,  según el cual “todo lo que ocurre tiene una razón suficiente  para ser así y no de otra manera”.

Todas las cosas, decía Aristóteles citando a Tales de Mileto, su sustancia está llena de dioses, infinita, ilimitada sustancia que contiene un perfecto equilibrio racional entre el todo.  Si bien para Pitágoras fueron números, en realidad nadie pensó en la materia reductiva hasta donde el mundo ha muerto, sin sentido mecanicista, en la frontera de la nada. Los pitagóricos juraban sobre el lema de la naturaleza que contenía la fuente y la raíz de la eternidad. Imagine un punto infinitesimal o un número decimal infinito, es decir, una fracción irracional, una singularidad, formada por infinitos puntos donde cada uno supera cualquier número de puntos donde cada uno de ellos ocupa un espacio físico. Desde esta singularidad (mónada suprema), infinitos puntos (mónadas individuales) pueden surgir para crear todos los objetos matemáticos del mundo platónico a través de sus diversas combinaciones y relaciones. Con esta noción de todo lo que vierte un punto adimensional (la nada), tenemos así un prototipo de la teoría del Big Bang matemático: todo el universo matemático está generado por puntos matemáticos (mónadas) que emanan de una singularidad fuera del tiempo y el espacio: la mente. Así que la ciencia es el demandante eterno de la imaginación matemática, sin ella, solo es un acto de fe. 

Llegado a este punto. El sistema de Pitágoras tiene el punto matemático como unidad   asociada con el número UNO o mónada, como elemento básico de toda su arquitectura matemática, todo lo demás se deriva de él. Sin embargo, esto no sirve sin vida, es decir, sin una mente, por lo tanto, el mundo de Pitágoras  es el mundo de los objetos platónicos matemáticos, mentales y vivos. Así la ciencia de lo incorpóreo, de tautologías, de ficciones platónicas, de almas o mónadas de los objetos matemáticos, el intelecto se extenderá desde puntos adimensionales vía relaciones matemáticas a todo su universo. 

De acuerdo al pensamiento Maya, lo equivalente a una mónada, es una frontera de indeterminación en aproximación infinita hacia la nada, una invocación indivisible en el infinito de la frontera  de un existencial. La cuestión es si el Cero Maya es en una singularidad algo más inmediata superior sobre la nada, la unidad del corazón de la realidad, es decir, la energía, lo existente en el mundo, o podríamos decir, que el cero maya es la frontera del Big Bang de las estructuras de información del universo matemático. 

¡Tenemos que hacer fracciones!, significa que es una competencia necesaria para el hombre moderno, que parte de su comprensión de número y cantidad entre los extremos del todo y la nada, y además, sus versiones irracionales decimales son un viaje infinito. Sin duda que es un desafío de lo conocido a lo desconocido. Los seres humanos discutimos, es decir, intercambiamos posturas sobre ideas y además, pretendemos en lo particular en la educación, que esta convenza que es capaz de hacer transitar a los estudiantes en por el camino virtuoso de pensar y gestionar conocimiento. No es muy profundo lo expresado aquí, lo que pasa es que la gente olvida hoy en día, que empezar, siempre es por lo intuitivo, es decir, proceptual-simbólico ya discutido en este texto. Los estudiantes tendrán que enlazar a partir de lo intuitivo una idea tras otra, y demasiado a menudo en las matemáticas son como las muñecas rusas, una idea contiene en su interior muchas más ideas. Los nuevos conceptos fuera de la mente del estudiante no están flotando en el aire o en poder de un Dios que sopla al oído, estas nuevas ideas están en la literatura, esos libros que siempre son generosos y están de buen humor. El docente guiará la experiencia por un camino de pensamiento productivo y resolverá  todas las dudas respecto al rigor de este conocimiento.

En resumen, un número fracción, es un viaje infinito a la frontera de la nada, es un número que divide a la mónada para volverla analítica, en otras palabras, la acción de fraccionar el todo o mónada, es fundamental para la tecnología y la ciencia, de ello depende descomponer el micro cosmos es formas de estructuras de información manejable por los técnicos y científicos. Hasta aquí, lo que parece elemental como la definición de un número fracción, resulta que su concepto está relacionado con el infinito, la mónada, el infinitesimal, la clase equivalente, y todo un mundo dentro del manejo de la precisión en todo acto de medida físico. Así, que el terror de nuestros estudiantes sobre estos números está justificado, del mismo modo que su posibilidad de superarlo. 

Así que, los decimales infinitos son familiares y a la vez que desconcertantes. A muchos estudiantes no les gusta la idea de considerar 

1=1.9999999999999999999999999999 …, 

Parece que esta igualdad es en realidad falsa, por ser menos que uno. Esto demuestra que el concepto de límite, probablemente debe ser discutido mucho antes que se aprenda cálculo. Justo antes de introducirnos al significado de infinitos decimales. En particular,  es fácil poder demostrar que cualquier decimal infinito periódico representa un número racional, por ejemplo el número n=0.1371137113711371137113711371137113711371…, Podemos desplazar el punto decimal al multiplicar n por 1000: 

n(1000)=137.1137113711371137113711371137113711371 …=137+n

Entonces, podemos resolver para n, 

n=137/9999. Un argumento similar se trabaja con cualquier decimal en su última instancia periódica, tal como para n=0.3155555555555555555555 … ahora n(1000)=315.5555555 y n(100)=31.5555555555 …, así que (1000)n-(100)n=315-31, que significa (900)n=284 y por tanto n=284/900.

Por el contrario, cualquier número racional tiene un decimal periódico en la última instancia  (tal vez en última instancia todos sean ceros). Esto es porque solamente los finitos tienen restos posibles en el proceso de división que producen así los sucesivos dígitos decimales, así que finalmente se producirá una repetición. Los decimales infinitos ya descritos arriba son ejemplo de la serie geométrica

Por ejemplo: para 1/3

Que tiene n=1/3 y r=1/10. No hay ninguna razón convincente para llamar a esta serie como geométrica, pero se presenta en geometría. Uno de los primeros ejemplos fue dado por Arquímedes: encontrar el área de un segmento parabólico. Este problema, que hoy resolvió el cálculo, puede reducirse a la suma de una serie geométrica como sigue.

La idea es llenar el segmento parabólico con infinitos triángulos y sumar sus áreas. Resulta que, con una simple suma se construye una serie geométrica. El primer triángulo tiene dos vértices en los extremos del segmento parabólico y su tercer vértice en la parte inferior de la parábola. Los dos triángulos se encuentran en los dos lados menores del primer triángulo, con sus vértices sobre la parábola en lo horizontal a medio camino entre los primeros y así sucesivamente.

La anterior figura muestra las etapas de este proceso, de llenado de triángulos para la parábola, y=x² entre x=-1 y x=1. Obviamente, que el primer triángulo, tiene área 1. Puede comprobarse con facilidad, que los siguientes 1/8 cada uno, para juntos sumar 1/4. Los siguientes cuatro tendrán un área de 1/42 y así sucesivamente. Por lo tanto, es el área del segmento parabólico 

Podemos encontrar A multiplicando ambos lados de esta ecuación por 4, obteniendo 

Donde sigue por sustracción que

3A=4  por tanto A=4/3

Esto demuestra que, con poco ingenio, un problema normalmente resuelto por integración se reduce a la suma  de una serie geométrica. En particular esto resulta muy relevante para las series 

Combinatoria  

 En la figura anterior se expresa el Zhu Shijie (1303) chino  y el triángulo de Pascal (1654) en sus formas de binomio y numérica. La idea combinatoria probablemente nace en china y es perfeccionada por Pascal, se muestra con números chinos, arábigos y en su forma binomial. Se cree que surge el binomio (a + b), como los números en el (n+1) que en el triángulo se llaman coeficientes del binomio. Se denotan como 

Mirando hacia atrás en el triángulo de números arábigos, se observa cada coeficiente binomial 

En la fila (n+1) es la suma de los dos de arriba 

y

En la fila n. Esta famosa propiedad de los coeficientes binomiales se explica fácilmente a  través del álgebra. Si tenemos por ejemplo:

= Coeficiente de en

Por otro lado

Así que hay dos maneras que se representen en : el primer término, como , y el segundo término como  debido a esto

=Coeficiente de en + coeficiente de en

Esta idea nos acerca a la combinatoria, porque consideramos como términos que se presentan como combinaciones de términos 

y     

Ahora vamos al realizar la combinatoria  y considerar como a términos de los factores numéricos n  a + b en .

Para hay que elegir a de k de los factores  y b de los restantes factores de n-k. Así el número de términos es

= Número de  maneras de elegir elementos de k de un conjunto de n elementos.

Como recordatorio de este hecho, pronunciamos el símbolo como n elegidos de k. La interpretación combinatoria nos da una fórmula explícita para, es decir:

Para comprender el por qué, imagine hacer una secuencia de k elegidos de un conjunto de n elementos.

El primer elemento se puede elegir de n-1 maneras, entonces n-1 permanecen elegibles, a continuación el segundo elemento puede elegirse de n-1 maneras, y n-2 elementos permanecen. El siguiente elemento elegido es sobre n-2 maneras, y n-3 elementos permanecen.  Finalmente, el k elemento puede ser elegido de n-k+1 maneras. 

Así de este modo n(n-1(n-2)… (n-k+1) son las secuencias de decisión. Sin embargo, nosotros nos preocupamos sobre el orden en que los elementos son elegidos, finalmente, se obtuvo solo el conjunto de elementos k, así que tenemos que dividir por el número de maneras de arreglar k elementos en una secuencia. Este número, por el argumento 

Se trata de cómo llegamos a la fórmula para el coeficiente binomial arriba descrito.

Con esta evaluación de los coeficientes binomiales, se define como los coeficientes de la expresión de , así de esta manera obtenemos el llamado teorema del binomio:

Empleando a=1 y b=x

Ahora tenemos dos maneras de computar los coeficientes

 Por las formulas ya explícitas y por el triángulo de sucesión de filas de Pascal. También tenemos un encapsulado de la secuencia de 

 Como los coeficientes en la expresión de 

Una función  de , que encapsula una secuencia de números como los coeficientes de potencias de x, es llamada una función generadora de la secuencia binomial de coeficientes 

. En muchos casos estas secuencias son infinitas. Se entiende por combinatoria, como un cálculo, basado en la teoría de series infinitas. A la combinatoria se le suele referir como matemática finita porque, al menos en el nivel elemental, se trata de objetos finitos, así que para probar cualquier cosa sobre estos objetos finitos es necesario demostrar algo que esta en el infinito. Esta es la razón última del por qué las matemática elementales no pueden excluir el infinito. 

Probabilidad

La probabilidad es la formalización del estudio de la noción de incertidumbre. Los efectos del azar son evidentes en la realidad. Biológicamente, somos una mezcla al azar de los genes de nuestros padres. Muchos intuitivamente referimos a la probabilidad, como un valor que revela la posibilidad de ocurrencia. La vida del hombre es presionada por la consciencia, cuando se pregunta por las consecuencias de sus actos, por la posibilidad de acertar sobre sus apuestas a hechos futuros. Cada vez que referimos a la frase “la probabilidad es…”, se hace referencia a los supuestos. Si esas suposiciones son injustificadas, es decir, que contienen poca dependencia de las variables que determinan los eventos. En un sentido clásico objetivo, la probabilidad es referida a juegos de azar, si se trata de eventos con misma probabilidad les llamamos simétricos en proporción a los resultados que los favorecen. Cuando hacemos experimentos de lanzar un dado, esperamos resultados igualmente probables en sus repeticiones de frecuencia. En realidad el dado no es ideal, por ello es razonable esperar ciertas desviaciones en su frecuencia. Entenderemos por frecuencia al número de repeticiones experimentales en condiciones idénticas. Una probabilidad es solo una expresión de la hipótesis de que algo ocurra, basada en la experiencia y el conocimiento sobre el experimento. Se trata de un número no negativo, no mayor a uno y donde cero es 0% y 1 el 100%. El cero representa el extremo como lo imposible, y el uno como el evento seguro o determinado absoluto. Cuando un asunto es incierto, es mejor evaluar sus probabilidades, para con estas tomar decisiones sobre nuestros pasos en la vida. Una frecuencia pretende hacer frente a circunstancias  que suelen ser repetidas indefinidamente bajo idénticas condiciones. El número de resultados de un experimento no tiene que ser finito siempre, desde luego que de acuerdo con al segunda ley de la termodinámica, las condiciones experimentales no pueden ser absolutamente idénticas, se podría decir que la probabilidad es menor al 99% si el error experimental es inferior 2%. Las circunstancias de cada experimento solo se presentan en lo absoluto una sola vez desde un enfoque objetivo. Para fines de un cálculo práctico, se suele pensar a la probabilidad en circunstancias ideales, donde las frecuencias son manejadas como un argumento estable o que no cambia. Solo los extremos de la probabilidad pueden ser probados, un valor cero puede  ocurrir si se prueba que el evento no puede ocurrir. Del mismo modo, una probabilidad de valor uno, corresponde al evento que se produce cada vez que se experimenta como algo invariable. Estos valores cero y uno, son los únicos que pueden ser concluyentes al ser probados experimentalmente. Si ocurre el evento, su probabilidad no puede ser cero y no puede ser la unidad si se aprecia algún otro evento distinto. 

Los antecedentes de la probabilidad formal, se refieren a Pascal en 1654 como quien aporta la primera teoría matemática de la probabilidad. Los problemas de juegos de azar son reducidos a un problema de combinatoria: ¿en cuántas formas cosas pueden elegirse de un conjunto de n número de cosas?

Por lo tanto, el coeficiente de probabilidades, es la proporción en que debe dividirse la apuesta, es:

Pero incluso para valores moderados de n y k, esta relación sería difícil de calcular, o incluso de expresar simplemente, sin los coeficientes binomiales. Supongamos por ejemplo una n=11 y k=7. 

Los valores de para m=0 hasta 11.

Van desde el valor 1 hasta el 462, con estos para mostrados en gris. Así la relación en este caso será la relación entre el área gris y negra. Y de hecho:

La suma de todos los coeficientes es , así que el otro lado de la relación es 2048-562=1486. Así, en este caso, 562/2048 para el jugador I, y 1486/2048 al jugador II.

Con valores mayores de n y k los coeficientes binomiales rápidamente se convierten en más grandes; de hecho, su total , crece exponencialmente. Sin embargo, algo interesante sucede con el aumento de los números. La forma de la gráfica de coeficientes binomiales, cuando escalan adecuadamente en la dirección vertical, se aproxima a una curva continua:

Esta observación se analiza en la teoría de las probabilidades e implica al cálculo. 

Lógica 

Las características más distintivas de las matemáticas es que prueban lo que expresan a través de la lógica;  aquí discutiremos solo la parte más simple de la lógica matemática. La inducción matemática, que es el principio más simple del razonamiento sobre el infinito. Inducción matemática también es conocida como la inducción completa en distinción al sentido coloquial de inducción, que a menudo es adivinación por experiencia. Las pruebas por inducción surgen de sumar uno de manera sucesiva a partir del cero para crear los números naturales, esta propiedad inductiva P, suele tener dos pasos básicos para la demostración:

1. Demostrar que P es coherente con cero (el paso base)

2. Demostrar que P propaga cada número al siguiente; es decir, si P es n, entonces P para n+1 (es el paso de inducción)

Obviamente, no es esencial empezar en 0. Si queremos probar que alguna propiedad P implica para todos los números naturales, digamos el 19 en adelante, el paso base será demostrar que P  tiene al 19.

La inducción no solo es un método natural de demostración, a menudo es extraordinariamente eficiente, porque esconde los detalles de por qué P justifica para cada n. Solo tenemos que entender porque P tiene valor inicial, y por qué propaga para cada número al siguiente. 

En general todas las personas consideran su propio pensamiento como lógico, de hecho, decir a alguien que su pensamiento es lógico es hacer crítica. La crítica es la actividad más distintiva de las sociedades abiertas y democráticas. Alguien ilógico, es referirlo como irracional en sus ideas. Al proceso de revisar las ideas en su lógica, es verificar (criticar) que no posean fisuras o incoherencias en su razonamiento. Razonar es intentar averiguar lo que está por tanto, justificado por un proceso lógico de para qué, por qué. Se producen afirmaciones en la ciencia, la ingeniería y son las matemáticas con sus inferencias las que dan luz de su solidez lógica. En cada caso se dan razones, llamadas conclusiones, que son las inferencias de las ideas que intentan convencernos de su verdad. La verdad es una validación por demostración, donde la idea central es extendida su validez por medios inductivos o deductivos.

Parece una tarea aburrida la crítica, pero es el ejercicio intelectual más importante para la soberanía de ciudadanos libres en sus juicios de conciencia. Pero resulta que esto no solo es asunto asunto complejo, sino que no puede desvincularse de hechos básicos sobre pruebas de validez. Debemos distinguir entre tres tipos de validez:

1. Si el plagiador simuló un texto, habría un mismo orden en el flujo de las ideas; así que el escriba no simuló e incurrió en plagio de autoría.

2. Ricardo tiene pintura en las manos; así que él es un pintor.

3. Ricardo compró una lata de pintura al día; por lo que alguien dejó un flujo de ideas idéntico a un texto protegido por derechos de autor.

La primera premisa es muy sencilla. Si la simulación es cierta, así debe ser la conclusión sobre el plagio. O, dicho, de otra manera, el plagio no podría ser verdadero, sin comprobar el mismo flujo de las ideas. Este es una inferencia de validez deductiva. En la número dos, la inferencia es un poco más diferente, la premisa es claramente la razón para la conclusión. Pero no es totalmente concluyente. Después de todo, Ricardo simplemente podría haber manchado sus manos accidentalmente, así, al inferencia no es deductivamente valida. Inferencias como estas, se deducen inductivamente validas. La premisa tres por contrario parece irracional para cualquier modo de razonamiento. De hecho, al ofrecer una premisa como esta, se asume preocupación en la lógica del individuo que la produce. 

La validez inductiva es una noción muy compleja e importante. Razonamos inductivamente todo el tiempo; por ejemplo, al tratar de resolver problemas tales como por qué se ha roto el zapato, por qué una persona es egoísta, o por qué ha cometido un delito. Continuemos con la validez deductiva, que en apariencia es la más simple, puesto que la inferencia válida es más convencional. Por lo que no es una mala idea intentar comprender esta primero. 

Hasta aquí es nuestro recorrido por los elementos de la matemática elemental: Aritmética, Computación, Álgebra, Geometría, Cálculo, Combinatoria, Probabilidad, Lógica. Hemos explorado el por qué es elemental para un ciudadano del siglo XXI, hemos destacado que no hay modo de delimitar lo que llamamos en estos hábitos “elemental”, y sobretodo, hemos descubierto que hay caminos comunicantes entre estas ramas de las matemáticas que resultan particularmente importantes recuperar en la formación elemental de la habilidad del pensamiento matemático.

[1] DRO?D? S., O?WI?CIMKA P., KULIG A., KWAPIE? J., BAZARNIK K., GRABSKA-GRADZI?SKA I., RYBICKI J. & STANUSZEK M. 2016. Quantifying origin and character of long-range correlations in narrative texts. Information Sciences 331: 32-44.