Pensamiento Matemático

proceptual-simbólico

 

 

 

 

 

 

Lección 5. Poincaré es la visión alterna al formalismo de Hilbert

Intentamos comunicar el concepto de matemáticas sin usar notación simbólica de proposiciones, para que el lector pueda reconocer en este ejercicio intelectual la belleza de esta parcela del conocimiento humano, donde la organización de las piezas conceptuales que la componen es necesaria para formar técnicos y científicos para el desarrollo de una sociedad.  


Las matemáticas nos permiten los avances en la tecnología, los números fueron los primeros objetos matemáticos para comunicarnos entre culturas, ahora la teoría de números no solo explica órbitas de planetas, armónicos de música, secuencias de genes, también el cómo se organizan los pétalos de una margarita. Nuestra imagen del mundo no deja de ampliarse por las matemáticas, de hecho “los matemáticos  del siglo XXI pueden construir teorías y realizar cálculos de todo tipo, pero es posible que no dispongan de la capacidad para asimilar, explicar o comunicar estas ideas[1]”. De acuerdo con Clifford A. Pickover, el problema civilizatorio pasa por las formas de acercar al público en general los avances en matemáticas, la pedagogía está en crisis ante la complejidad y diversidad de los adelantos en matemáticas.      


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David Hilbert en 1900[2], propone 23 problemas matemáticos que harán historia[3]. 

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Henri Poincaré, propone una visión inductiva de las matemáticas.


De acuerdo con Descartes la esencia de la ciencia y la técnica se haya en las matemáticas,  estas ofrecen los principios del espacio que afirman que la naturaleza tiene una matemática de lo real, es el diseño del mundo; argumentación pura; proposiciones que hablan de ficciones perfectas ante la lógica formal; lenguaje artificial que permite alcanzar lo sintético dentro de la química, la biología y la inteligencia artificial; nos dice la matemática que en la realidad además de ser posible realizar medidas, explorar sus comportamientos, es posible crearla como una realidad extendida por medios artificiales: el software y lo material sintético.


Los objetos matemáticos son entidades abstractas que son comunicables, y están confinados a la mente humana, su creadora y su portadora. Son ideas perfectas dentro de las propias matemáticas, su demostración les da objetividad y de la misma manera, solo dentro de las mismas matemáticas encontramos sus explicaciones. Son creadas como resultado de ficciones que recogen métodos y axiomas como razones que describen un conjunto de verdades matemáticas. 


Las matemáticas sin duda alguna son responsables de los saltos que damos en la manera de vivir la realidad, ya sea atómica, biológica, química, artística o del cosmos. Nos apoyamos en ellas para explicar la evolución química de los aminoácidos, la mecánica de los códigos, la criptografía de firmas digitales, la respuesta del sistema inmunológico…; exhibimos su potencial en la programación de computadoras, en la navegación de aeronaves y las comunicaciones electrónicas como la Internet. La exploración científica y técnica de los seres humanos tiene como frontera el propio límite de nuestros desarrollos matemáticos, por ello, educar en este campo es una tarea de civilización. 


La fascinación por los números ha desarrollado todo un campo de teorías de números; la seducción de códigos ha impulsado la teoría matemática de la información; los sistemas dinámicos y sus aplicaciones encuentran en las ecuaciones diferenciales y sus sistemas, un campo que la matemática reinventa a la tecnología. Las comunicaciones y los asistentes informáticos automatizan la industria, algoritmia que se presenta como robots, instrumentación virtual, y patentes con un alto grado de especialización. Más allá de la descripción matemática de la realidad, nuestra civilización ha llevado esta innovación a la antesala de crear una nueva realidad apoyada en la imaginación y la tecnología de base matemática.


Las matemáticas han tenido crisis en respuesta a la naturaleza de sus entes (conceptos y objetos). Algunos matemáticos afirmaron que los conceptos y objetos matemáticos son reducibles a argumentos lógicos (tesis logicista o formalista), por otro lado, hay quienes afirman que los objetos matemáticos provienen de la intuición pura, entre ellos Kant (intuicionistas como Poincaré[4]). Otros las observan como propiedades de las cosas (empiristas)[5]. En un sentido distinto, otros más dicen que los objetos matemáticos tienen existencia trascendental (tendencia realista). La tendencia formalista de Hilbert entra con fuerza en el siglo XX, al considerar que los conceptos y objetos matemáticos son reducibles a  relaciones lógicas, afirma que hay en los fundamentos de la matemática conceptos no contenidos en la lógica, lo cual, los traduce en otros nuevos al fundamentarlos al lado de los postulados lógicos, y esencialmente uno que se refiere al infinito[6]. El sistema formal que amplía la lógica, permite fundamentar la estructura deductiva, para la cual Hilbert se propone dar los razonamientos completos para la objetividad matemática, lo que lo conduce a ver que toda proposición que no sea una convención, para que sea parte del sistema formal, debe ser, o un axioma o una proposición a la que se llega por una cadena de operaciones del sistema formal a partir de los axiomas;  luego, toda proposición del sistema formal es implicada por el sistema de axiomas. Comprende una metodología logística, axiomatizada y en conjunto con la teoría de la demostración (Beweistheorie) es un método. El método consiste en: 1) en axiomatizar la teoría en cuestión; 2) traducir la teoría en notación matemática simbólica; 3) demostrar la coherencia del sistema de axiomas: compatibilidad, independencia, integridad y determinación[7].


La  propiedad de compatibilidad se refiere a que un sistema formal es compatible si ha probado a partir de sus axiomas no tener dos proposiciones contradictorias. Esto es relevante para la empresa científica y técnica, porque en ambos ámbitos, sus cálculos no deben tener en su interior contradicciones. En la matemática moderna podemos ver la obra de Hilbert, por ser un método de demostración preciso, claro y conciso; el encadenamiento lógico perfecto ejecutado con fundamentación axiomática, parece haberse impuesto en la manera de aproximarnos a la imaginación y a la intuición matemática, como forma de comprensión de su naturaleza; el formalismo de Hilbert da estructura al rigor matemático del análisis y la formulación de teorías en la ciencia. Hilbert postula que pueden coexistir diferentes lógicas sin contradecirse[8]. 


Poincaré es la visión alterna al formalismo de Hilbert,  nos dice que la inducción matemática, es decir, la demostración por recurrencia, se impone necesariamente, porque no es más que la afirmación de una propiedad del espíritu humano. Como consecuencia de lo dicho, resulta que la matemática no es perfecta en el sentido formal, pero sí lo es en el sentido humano, es decir, en relación a la capacidad del intelecto humano. 


En conclusión:


La estructura de las matemáticas  es formalista[9].

La justificación de sus axiomas es inaccesible por la vía formal, es un contenido intuitivo en el sentido de Kant y Poincaré[10].      


Enseguida, analicemos la axiomática del álgebra aritmética, para darnos una idea de estas posturas. Las reglas de un álgebra, o leyes conmutativas y asociativas para suma y multiplicación son:

S1) La ley conmutativa para la adición: a + b= b + a, para cualquiera dos números a y b.

S2) La Ley asociativa de la adición: a + (b + a )= (b + a) +c, para tres números cualequiera  a,b,c.

S3) 0 es un la identidad para la adición: 0 + a =a, para un número cualquiera a.

M1) Ley conmutativa de la multiplicación: ab=ba, para cualquiera dos números a y b.

M2) La Ley asociativa de la multiplicación: a(bc)=(ab)c, para tres números cualquiera  a,b,c.

M3) 1 es en la multiplicación la identidad: 1a=a para un número a.

D1) La ley distributiva: (a+b)c=ac+bc,  para cualesquier tres números  a,b,c.

Estas reglas son interesantes porque por sí mismas persuaden a la mente sobre el papel que desempeñan en nuestro pensamiento, incluso en las declaraciones más simples. Nuestra confianza que 3 x 4 =12 se basa en un cuadro bidimensional en el que este producto puede verificarse como la suma de 12  unidades cuadradas 1x1=1. Pero que significado tiene 0x0=0.

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El número cero aparece como idea justo después de que el hombre consolida los números enteros positivos, antes que aprendiera a escribir y leer. El cero llegó como algo paradójico relacionado con la nada y misterioso cuando la sociedad se preguntó ¿cómo puede existir un número para la nada? Desde el punto de vista abstracto, el cero es muy sencillo, solo es un apoyo para los sistemas de numeración con las siguientes propiedades.

S3 no es todo lo que debemos saber de cero, visto como la identidad bajo la suma. Cómo demostrar que 0x3=0, donde 3 se define como 1+1+1. En primer lugar, la ley M1 no dice que 0x3=3x0. A continuación, la ley D nos dice que (1+1+1)x0=1x0+1x0+1x0. Pero 1x0=0 mediante la ley M3, así que esto es igual a 0 + 0. Y por la regla S3 implica que 0+0=0, y la argumentación termina.

Un argumento no abstracto sería decir que 0x3 significa no sumar 3 y así nos quedamos con cero. Pero esta forma hace que el pensamiento no sea riguroso para contestar por ejemplo ¿por qué cero veces cero es cero, puesto que cero veces no representa la nada? 

0=1x0   por la regla M3

0=(0+1)x0 por la regla S3

0=0x0+1x0 por la regla D

0=0x0+0 por la regla S1

0=0x0 por la regla S3

Estamos dando este camino de demostración, porque nos parece que las demostraciones matemáticas son interesantes para desarrollar el pensamiento, y además por el deseo de mostrar lo que significa justificar las declaraciones aritméticas abstractas, empleando reglas simples sin preocuparnos de lo que realmente es el número cero. Por supuesto que es necesario asociar el significado de un número con ImagLec5 mentales de los objetos matemáticos, a menudo  estas asociaciones porcentuales no son suficientes para decirnos qué hacer en contextos nuevos y desconocidos. Entonces el método abstracto se convierte en indispensable.

El concepto de cero no solo es misterioso por evocar a la nada, un vacío primordial, además, resulta de un peligro real, dado que con el cero existe la posibilidad de romper el marco de la lógica. Hemos dicho que el cero nace después de los números enteros positivos, dado que la hipótesis que sostenemos, afirma que los hombres necesitaron primero registrar todo lo existente, como animales y otras cosas; y así durante algún tiempo al hombre no se le presentó más necesidad de contar y registrar. Cero resutó tan extraño que algunas culturas nunca lo demandaron, les resulto absurdo contar la  nada. Los primeros registros que se conocen de los números fueron sobre tablas de arcilla y huesos de lobo. Pero en ellos hay evidencia que el hombre solo pensó la unidad y una serie creciente positiva de muchos números más. La base numérica de base 10, se cree es un accidente a través de las culturas que tomaron la cantidad  de  los dedos de las manos como el número de símbolos base para contar.  Los griegos emplearon la palabra "oscuro" para referir el proceso de recuento. Otras culturas emplearon el sistema de base 5, o quinario; los Mayas emplearon la base 20 por corresponder a la cuenta de dedos de pies y manos, parece que las culturas antiguas  gustaron de emplear al cuerpo humano como referencia para contar. 

Hemos argumentado que contar cero caballos o cero niños pudiera parecer que no es necesario, un número para contar algo que representa la ausencia de ese objeto. Quizá por ello muchas culturas siguieron con sistemas sin incluir el cero. Las personas que podían llevar la cuenta del tiempo, del espacio, de cosechas, eran considerados dioses, sacerdotes y su rango social era una jerarquía muy cercana a jerarcas, emprendedores y líderes. Pero para evitar hacer del conteo un recital apoyado en el número de dedos, se hace necesario un sistema numérico simbólico para registros complejos. Se sabe que las cifras de conteo se crean mucho antes que la escritura y la lectura tempranas en la civilización. Las piedras, huesos y arcillas labradas anteceden a las tintas. Transcribir el sistema oral ha escrito, fue un sistema de descodificación por el que escribas podían fijar los números en primer lugar, antes que las narrativas de la condición humana. 

Lo primero fue resolver un sistema base que hiciera pensar a los números como contenedores de la noción de cantidad, en lugar de marcas, se emplean símbolos para cada agrupación base, donde cada uno de ellos pudiera ser reciclado para expresar series más complejas. Fueron los Egipcios los que desarrollaron un sistema decimal hace más de 5000 años, donde cuadros estaban separados para recibir números, con una sola marca vertical se representaba la unidad. Para escribir 135 con este sistema, en lugar de emplear 135 marcas para esa misma cantidad de unidades, los egipcios escribían seis símbolos: una trampa, tres talones y cinco marcas verticales. Fue la manera típica de hacer matemáticas en la antigüedad, y como muchas otras civilizaciones no emplearon el cero para contar, aunque en su geometría lo emplearon para referir al origen de todo sistema geométrico. 

Los griegos también conocieron la unidad, a partir de ella mediante un sistema decimal desarrollaron una serie de números positivos crecientes, pero en este caso cuando la unidad era dividida 1/10, 1/100, 1/1000, 1/10000, 1/n = átomo. El átomo fue resultado de dividir una unidad de roca, donde el límite era un átomo o parte indivisible de la materia. Aquí es de destacar que la nada y la realidad material tenían como frontera los átomos. Donde n representaba al número de lados de un círculo, es decir, un círculo es un polígono regular,  mismos ángulos interiores y longitudes de lado para un polígono que se le aumenta indefinidamente en número hasta llegar al átomo. Y al igual que los Egipcios no necesitaron del número cero.

La necesidad de contar con un calendario, una vez que la conciencia humana alcanzó certeza sobre ciclos de repetición en cambios lunares y climáticos relacionados con la inclinación de los ángulos de la luz solar, es que el hombre perfecciona los sistemas numéricos para cuentas más precisas y complejas. El mes lunar se calculó entre 29 y 39 días, que son 12 meses lunares de 354 días,  11 días por debajo del calendario solar pensado por los Mayas. Corregir el año lunar es una tarea compleja, pero necesaria para empatar con precisión las estaciones del año. También los Egipcios emplearon el año solar para ello; sobre un sistema numérico de base 10, para la semana llamada década fue de 10 días, que suman en un año 365 días. Este calendario fue adoptado por los griegos y luego por el imperio romano, este último modificó la adición de años bisiestos y entonces se convirtió en el calendario occidental sin ceros en su estructura, un problema que podría causar sesgos de milenios más tarde. La innovación Egipcia del calendario no fue la mayor aportación a la civilización occidental, sino el arte de la invención de la geometría. Incluso sin un cero, los egipcios habían representado el origen geométrico como un lugar sin dimensiones. La geometría nace por la necesidad de tomar muy en serio el respeto a la propiedad de áreas de cultivo. Las parcelas se dividieron en rectángulos y triángulos buscando ser lo más preciso posible. La geometría plana egipcia evoluciona al espacio tridimensional para calcular volúmenes de materia en la arquitectura. Así que el punto de origen geométrico sin expresarlo así, fue el cero egipcio para referir un lugar de referencia sin dimensiones y a partir de este medir el espacio circundante.

Los griegos a diferencia de los Egipcios, incluyen en las matemáticas el pensamiento filosófico. Es extraño que los griegos no descubrieran al cero, pero mejoraron el sistema decimal incorporando letras en lugar de iconos y el sistema de base 10 se hace más sofisticado. Pero no aparece cero en su cultura, es en el actual Irak que los babilonios introducen el cero en el sistema numérico sexagecimal, es decir, de base 60 para sus símbolos básicos. En lugar de emplear nuevos símbolos para diferentes números, era posible hacerlo solo con los básicos. Esto les permite a los babilonios crear las primeras máquinas en ayuda a las cuentas, aunque fueron los chinos y su ábaco la primer máquina de contar conocida. Los babilonios crean las palabras calcular y cálculo precursoras de la informática moderna. El sistema babilonio es posicional, muy parecido al ábaco en este sentido. Cada agrupación tiene un valor diferente dependiendo de su posición. De esta manera, el sistema babilonio no era tan diferente al que hoy usamos. Posiciones de unidad, de derecha a izquierda para referir 1, 10,100,1000,10000 respectivamente. Del mismo modo, el símbolo para escribir la unidad fue un símbolo único, y hasta representar 60, ese mismo símbolo se desplaza a la posición inmediata izquierda agregando cero. Cero toma significado de los otros dígitos a la izquierda, aquí cero es un dígito, no es un número. No tiene ningún valor. Quizá importado de la India, donde el cero representa el conjunto vacío.

El valor de un número viene de su lugar en la línea de posición derecha izquierda. Sin embargo, los babilonios consideran al cero el primer número en la recta numérica, solo como un símbolo sin ningún referente a su concepto de número. En resumen, los babilonios crean el dígito cero como marcador del sistema numérico sin lograr conectarlo con alguna noción de número. Esta herencia hasta hoy es clara en el sistema numérico decimal moderno de base 10, es decir, de 10 símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Además, los babilonios emplearon un símbolo para separar los negativos de los positivos, este fue el cero. Desde entonces, hasta hoy, el registro de la cuenta de memoria de las computadoras modernas empieza en el registro del byte 00000000, de allí empieza la cuenta. 

Los Mayas concibieron que la cuenta empieza en cero, a partir de la idea en que el universo se crea de la nada. Los Mayas crearon uno de los mejores calendarios solares y sistemas numéricos gracias a que en su estructura está contenido cero como número.  El propio sistema Maya es posicional, pero además introducen la idea de cifras de base 20, pero con dos tipos de dígitos. El tipo de dígito simple se basa en puntos y lineas, mientras el tipo de cuenta larga emplea un símbolo parecido a un ojo, este cero no es aquí un símbolo, sino un número.

Al cero Maya se llega por divisiones sucesivas 1/1, 1/20, 1/200, 1/200, 1/2000, 1/20000, hasta

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Este cero Maya, representa un número que asocia indeterminación de cantidad y es la frontera infinitesimal con la NADA. A diferencia de otros sistemas como el Egipcio, los mayas hicieron lo obvio, comenzaron a contar desde cero. El calendario Maya se formó de meses de 20 días, numerados de 0 a 20, y no de 1 a 20 como lo hacemos hoy. Combinado con el solar, crearon un calendario con un nombre distinto para cada día, en un ciclo de 52 años.

Los egipcios manejaron las fracciones de manera muy engorrosa, donde cada fracción se puede representar como sumas de 1/n donde n es un número de cuenta. Largas cadenas de fracciones egipcias de la unidad hizo extremadamente difícil codificar la información registrada. El cero Maya hace obsoleto este sistema. Pero los babilonios son los que crean la representación con punto decimal de cifras para fracciones, tal como lo hacemos en el presente en un sistema de base 10. Es claro que el avance tecnológico se hubiera acelerado en Europa, sí los romanos y los griegos no hubieran rechazado a cero. La razón quizá fue que lo consideraran peligroso para los fines religiosos, dado que cero es la ausencia de Dios, del tiempo y del espacio. Es difícil imaginar esto, pero la nada o vacío representó a la muerte. Los griegos creyeron en una frontera hecha por los dioses 1/n, con la idea de átomo, como una forma de asegurar no entrar a la nada, la oscuridad del lenguaje, de la música y de la existencia humana. Los Indios relacionaron al vacío como desorden absoluto, un estado primitivo y natural del cosmos, donde todo empezó. Los Mayas imaginaron esto muy distinto, el cero es una manera de vivir en un plano existencial circular en su historia. La muerte es una forma de saltar a otro círculo existencial. La eternidad del tiempo, el no poder determinar donde termina la existencia y empieza la nada, se le asigno el número cero. Cero representa no el vacío del pensamiento Indio, sino la frontera de indeterminación de lo existente y la nada. Para los Mayas resulta sin ningún temor que el tiempo comenzó en cero, hoy tan importante para la Teoría del Big Bang. 

Además, la problemática de dividir una cuenta entre cero para los babilonios, griegos, romanos resultó algo peligroso. Si bien 1 + 1 no es uno,  cero + cero es cero, este hecho Maya,  violó un principio básico de los números en los axiomas de Arquímedes, que dice que cuando se añade un número a otro número, el segundo cambia su magnitud que representa cantidad. Solo baste con ver 4 + 0 es 4, es un elemento neutro para la suma o la resta, cero no tiene ninguna cantidad asociada, pero

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amenaza con socavar lo conocido hasta ese momento del conocimiento aritmético. La división y la multiplicación  0/0=0, 0x0=0. Nada a veces cero es cero, el cero Maya irrumpe al advertir que la recta numérica pudiera tener otros infinitos ocultos en la apariencia de continuidad de su numeración, tales puntos serian por ejemplo los irracionales Imagen.

No es descabellado pensar que los Mayas llegaran al cálculo infinitesimal antes que Newton y Leibniz, por lo menos no tuvieron temor alguno para explorar el contexto de cero e infinito de la matemática moderna, probablemente allí este la respuesta de la enorme y asombrosa precisión de sus cálculos. Multiplicar por un número diferente de cero, por cero, destruye al número, reinicia la cuenta, de la misma manera que el reinicio de las computadoras. Solo nos queda especular dado que los españoles destruyeron mucha información, que los Mayas reiniciaron las cuentas al multiplicar por cero; iniciaron la cuenta desde cero, y el propio tiempo y espacio fueron creado desde cero, y la división de un número diferente de cero entre cero no está definida dado que la nada amenaza con destruir los cimientos de la lógica y matemática. Multiplicar por cero solo destruye al número, pero dividir entre cero destruye todo marco de las matemáticas. Cómo tanto poder en un solo número es capaz de impulsar a la ciencia y la ingeniería a limites insospechados de creatividad humana. La entropía o desorden absoluto, o si la prefiere ver como información potencial de un algo es cero orden, es decir, igual a caos absoluto. 

Este viaje, es un recordatorio a todos nosotros que el pensamiento matemático es el más grande de los logros de la globalización cultural de la humanidad, y deberá bastar para convencer a los jóvenes, que debieran aprender el pensamiento matemático como un camino acumulativo de conocimiento cultural, en un sentido de menor complejidad a  mayores límites insospechados de matemáticas abstractas. México es heredero de este enorme número cero que creo la revolución de la matemática moderna, honrar con orgullo este hecho debería bastar también, para hacer grandes esfuerzos pedagógicos y que nuestros jóvenes sean mejores que sus profesores, este deseo como el objetivo pedagógico más importante para guiar todo esfuerzo educativo.

Los objetos matemáticos se desarrollan más que se despliegan, y se desarrollan a partir de verdades evidentes (axiomas), para que se conciban nuevos a partir de ese punto, es necesario que el novel los deconstruya hasta sus cimientos (axiomas o teoremas). Al espiarse a sí mismo el novel, puede reconocer su propio camino matemático. Cuanto más explora en lo profundo de los objetos matemáticos, más consciente es el novel, es cuando su actitud para las matemáticas mejora desde un punto en apariencia insoluble, a un estado de nuevos límites interiores dentro del pensamiento matemático. Cada aprendizaje producto no de una habilidad de técnica matemática, sino de un análisis exhaustivo de los principales argumentos que lo definen y resuelven, al agotar los muchos de los aspectos extraños a la curiosidad, además, se gana eficacia en gran parte por precisar el papel de un objeto matemático  dentro de otros más complejos.





[1] Clifford A. Pickover (2012) El libro de las matemáticas. Nueva York: Sterling Publishing

[2] Foto tomada de Internet  en: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/PictDisplay/Hilbert.html

[3] Ivor Grattan.Guinness (2000) A sideways Look at hilbert’s twenty-three problems of 1900. Nitices of the AMS Vol 47(7) pp. 752-757. Consulta 11 de noviembre de 2012, de http://www.ams.org/notices/200007/fea-grattan.pdf

[4] Giorgio Israel, Marta Menghini (1989) The “Essential Tension” at Work in Qualitative Analysis: A Case Study of the Opposite Points of View of Poincaré and Enriques on the Relationships between Analysis and Geometry. Historia Mathematica, Volume 25, Issue 4, November 1998, Pages 379-411. Consulta 11 de noviembre de 2012, de http://www.sciencedirect.com

[5] Reale Giovanni & Antiseri Dario (2005) Historia del pensamiento filosófico y científico. Barcelona: Herder.

[6] G. Donald Allen. Lectures on the history of mathematics:  The History of infinity. Consulta 11 de noviembre de 2012, de  http://www.math.tamu.edu/%7Edallen/masters/index.htm

[7] Torres A., Carlos (1989) La filosofía y el programa de Hilbert. MATHESIS vol. V(1). pp. 33-55.  Consulta 11 de noviembre de 2012, de http://132.248.9.1:8991/hevila/e-BIBLAT/CLASE/cla104285.pdf

[8] Corry, Leo (2003) David Hilbert y su filosofía empirista de al geometría. Universidad de Tel Aviv. Consulta 11 de noviembre de 2012, de http://www.tau.ac.il/~corry/publications/articles/pdf/Hilbert%20USB.pdf

[9] Free access to archived articles of primary mathematics journals

 http://www.elsevier.com/wps/find/P11.cws_home/archivedjournals

[10] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk